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고등수학

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확률과 통계 (고등수학): 표본에서 발견하는 통찰 표본평균과 모집단 평균: 작은 조각에서 전체를 이해하다어느 날, 한 수학 선생님이 학생들에게 질문을 던졌습니다.“만약 우리가 100명의 국어 평균 점수를 알고 싶다고 해봅시다. 하지만 그 점수를 모두 모으는 건 너무 많은 시간이 걸리겠죠. 대신, 무작위로 10명만 뽑아서 평균 점수를 계산한다면, 과연 이 평균으로 100명의 전체 평균을 추측할 수 있을까요?”학생들은 고개를 갸웃했습니다. 일부는 “10명으로 전체를 예측하기엔 부족하지 않을까요?”라고 말했고, 또 다른 학생들은 “그래도 비슷하게 맞출 수 있지 않을까요?”라고 답했습니다.선생님은 미소를 지으며 말했다. “좋아요. 이제 이 질문을 조금 더 깊이 파고들어봅시다.”작은 표본에서 전체를 보는 방법선생님은 큰 주머니를 꺼냈습니다. 주머니 속에는 1부터..
고등 수학(상) > 도형의 평행이동 > 점 (m,n)의 x축, y축, 원점, y=x 대칭이동 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 도형의 평행이동 > 점 (m,n)의 x축, y축, 원점, y=x대칭이동 연습문제 프린트 학습지 도형의 이동 : 평행이동과 대칭이동도형의 이동은 2가지가 있습니다. 하나는 대칭이동, 다른 하나는 평행이동이예요. 또 대칭이동은 2가지로 나눌 수 있는데요, 점 대칭과 선 대칭이 있습니다.  이번 글에서는 점 대칭과 선 대칭에  대해서 알아보겠습니다.  $x$축 대칭, $y$축 대칭, $y=x$대칭 $x$축과 $y$축은 '선'이므로 '선 대칭'에 속합니다. 아래와 같이 정의됩니다.  점 $(m,n)$을 $x$축 대칭이동하면 $(m,-n)$점 $(m,n)$을 $y$축 대칭이동하면 $(-m,n)$점 $(m,n)$을 $y=x$ 대칭이동하면 $(n,m)$ 원점 대칭원점 대칭은 $(0,0)$이라는 점..
고등 수학(상) > 항등식과 나머지정리 > 완전제곱꼴인 이차식으로 나누었을 때의 나머지 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 항등식과 나머지정리 > 완전제곱꼴인 이차식으로 나누었을 때의 나머지 구하기 연습문제 프린트 학습지 인수로 가진다의 의미다항식의 나눗셈에서 '인수로 가진다'는 의미는 '나누어 떨어진다'는 의미와 같습니다. 수학문제를 해석하는데 있어서 이런 용어를 잘 이해하는게 중요해요. 소인수분해에서 인수라는 개념이 포함되어 있는데, 바로 인수정리에서서도 인수라는 용어가 사용되고 있어요.  $$A=B\times{C}$$ 위 식에서 $B,\ C$를 $A$의 인수라고 합니다. 여기서 중요한 점은 곱셈으로만 이루어진 식이라는 것입니다. 즉, 인수라는 용어는식이 곱으로만 이루어졌다는 것이 전제가 되어야 사용이 가능하고, 이것이 다항식의 나눗셈에서는 나누어떨어진다는 상황과 일맥상통한다는 것이에요. 따라서 다항식..
고등 수학(상) > 항등식과 나머지정리 > 다항식 P(x)를 일차식으로 나눈 나머지 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 항등식과 나머지정리 > 다항식 P(x)를 일차식으로 나눈 나머지 구하기 연습문제 프린트 학습지 나머지정리다항식 $f(x)$를 일차식 $(x-\alpha)$로 나눈 나머지를 $R$이라고 할 때, $$f(x)=(x-\alpha)Q(x)+R$$에서 $f(\alpha)=R$을 나머지정리하고 합니다.   나머지정리 연습문제나머지 정리에 의해 식을 정리하면, (1) $P(x)=(x-2)Q(x)+R$에서 $P(2)=R=2^3+2^2-2-1=8+4-2-1=9$(2) $P(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)Q(x)+R$에서 $P\left(-\dfrac{1}{2}\right)=R=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-..
고등 수학(상) > 인수분해 > 고차식의 인수분해 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 인수분해 > 고차식의 인수분해 연습문제 프린트 학습지 차수가 보통 3차 이상의 식을 고차식이라고 부르고, 이를 인수분해하는 문제를 고차식의 인수분해라고 합니다. 그럼 인수분해란 무엇일까요? 인수분해란 어떤 식을 두 개 이상의 식의 곱으로만 나타내는 것을 말해요. 가령, $ma+mb$라는 식을 $m\times{(a+b)}=m(a+b)$로 나타내는 것을 인수분해한다고 합니다.  인수분해가 왜 중요할까요?역시 방정식과 관련이 있습니다. 예를 들어, $x^2-x-2=0$이라는 이차방정식이 있다고 하면, $(x+1)(x-2)=0$으로 인수분해를 할 수 있고, 이를 통해 방정식의 해가 $x=1$ 또는 $x=-2$라는 것을 아주 쉽게 알 수 있습니다. 다시 말해,$x^2-x-2=0$과 $(x+1)..
고등 수학(상) > 인수분해 > 복이차식의 인수분해 연습문제 프린트 학습지 고등 수학(상) > 인수분해 > 복이차식의 인수분해 연습문제 프린트 학습지 복이차식의 인수분해복이차식이란 $X^2$와 같이 다항식 $X$를 제곱한 식이 포함된 식을 말합니다.  복이차식을 인수분해하는 문제를 풀고 연습문제를 무제한으로 생성하는 '모두매쓰'를 소개하도록 하겠습니다.  문제)(1)번 문제를 풀면, $x^4+4x^2+16$의 식을 다음과 같이 변형하면, $=x^4+4x^2+16+4x^2-4x^2$$=x^4+8x^2+16-4x^2$$=(x^4+8x^2+16)-(2x)^2$$=(x^2+4)^2-(2x)^2$$=(x^2+2x+4)(x^2-2x+4)$ (2)번 풀이$x^2+x=X$로 치환하면,$X^2+3X-28$$=(X-4)(X+7)$다시 $X=x^2+x$로 바꾸면,$=(x^2+x-4)(x^2+x+7..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 방정식이 세 실근을 가지 위한 k의 값의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 방정식이 세 실근을 가지 위한 k의 값의 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 안녕하세요. 오늘은 도함수의 활용 중 방정식의 실근의 개수를 구하는 문제를 풀어보겠습니다. 방정식의 실근이라는 테마는 수학에서 특히 함수 단원에서 무척 중요하게 다루어지는데요, 왜냐하면 방정식의 실근이 존재하는지 유무와 그 값의 위치는 수학의 연구 과제를 해결는데에 함수의 그래프 등 기하학의 도움을 많이 받기 때문인데요.방정식의 실근은 함수의 그래프와 일맥상통하는 부분이 있습니다. 만약 어떤 수학 문제에서 '실근'이라는 단어가 등장한다면 반드시 '그래프'를 떠올리고 문제를 해결하길 바랍니다.  그럼 문제를 풀어보도록 할게요.  좌변에 포함된 $k$를 우변으로 이항하면, $x^3-12x+5=-k..
고등 수학II > 도함수의 활용 > 닫힌 구간에서 부등식이 항상 성립하도록 하는 실수 a의 값이 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 고등 수학II > 도함수의 활용 > 닫힌 구간에서 부등식이 항상 성립하도록 하는 실수 a의 값이 범위 구하기 연습문제 프린트 학습지 안녕하세요. 오늘은 도함수의 활용 문제 유형 중 부등식이 항상 성립하는 조건을 해결하는 문제 유형을 다루겠습니다. 사실 이 유형은 함수의 최댓값과 최솟값의 유형이라고 보아도 무방한데요,거듭 강조하지만, 도함수의 활용 문제의 시작과 끝은 '함수의 그래프'입니다. 함수의 그래프를 쉽게 그릴 수 있으면 그에 비례해서 다양한 유형의 도함수의 활용 문제가 해결이 됩니다. 이와 관련해서 참고할만한 글이 있으니 함수의 그래프 개형에 대해 정리가 되어 있지 않다면 아래 글을 먼저 보시기를 추천드립니다. 삼차함수의 최댓값과 최솟값 그럼 문제를 풀어보도록 하겠습니다.  좌변은 삼차함수, 우변..

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