고등 수학(상) > 항등식과 나머지정리 > 완전제곱꼴인 이차식으로 나누었을 때의 나머지 구하기 연습문제 프린트 학습지

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인수로 가진다의 의미

다항식의 나눗셈에서 '인수로 가진다'는 의미는 '나누어 떨어진다'는 의미와 같습니다. 

수학문제를 해석하는데 있어서 이런 용어를 잘 이해하는게 중요해요. 

소인수분해에서 인수라는 개념이 포함되어 있는데, 바로 인수정리에서서도 인수라는 용어가 사용되고 있어요. 

 

$$A=B\times{C}$$

 

위 식에서 $B,\ C$를 $A$의 인수라고 합니다. 여기서 중요한 점은 곱셈으로만 이루어진 식이라는 것입니다. 

즉, 인수라는 용어는식이 곱으로만 이루어졌다는 것이 전제가 되어야 사용이 가능하고, 이것이 다항식의 나눗셈에서는 나누어떨어진다는 상황과 일맥상통한다는 것이에요. 

따라서 다항식의 나눗셈에서 나누어 떨어질 때 = 인수를 가질 때 가 같은 이야기를 하고 있다는 것을 이해할 필요가 있어요. 

 

관련해서 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 

위 문제를 식으로 표현하면 다음과 같아요. 

$ax^3+bx^2-5x-4=(x-1)^2Q(x)$

여기서 핵심은 '인수로 가질 때'를 이해하는거에요. 

주황색으로 표시한 부분은 같은 의미로 생각할 수 있어요. 

저런 용어가 사용되면 위에서 쓴 식의 구조를 떠올리는게 목표예요. 

 

문제 풀이를 하면, 

다항식이 $(x-1)^2$을 인수로 가지므로, $(x-1)$로 두번 조립제법을 할 때 나머지가 $0$입니다. 

$ax^3+bx^2-5x-4=(x-1)\times{(x-1)Q(x)}$

위와 같이 다항식을 일차식 $(x-1)$으로 나눈 나머지가 0이라는 나머지정리 개념을 도입한 것입니다. 

조립제법을 한 번 사용하면, 

$a+b-9=0$

조립제법을 한 번 더 사용하면, 

$3a+2b-5=0$

이고 두 식을 연립하면, $a=-13,\ b=22$

입니다. 

 

 

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