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중등 3학년 수학 > 삼각비 > 보조선을 긋는 삼각형의 넓이 구하는 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 삼각비 > 보조선을 긋는 삼각형의 넓이 구하는 연습문제 프린트 학습지 삼각형의 넓이를 구하는 문제 중, 높이를 삼각비를 통해 구해야하는 문제가 있어요. 아래 문제를 같이 보도록 하겠습니다. 위 삼각형의 넓이를 구하기 위해서는 '밑변'과 '높이'를 알아야 하는데요, 두 값 모두 위 도형에서는 표시가 되어 있지 않았는데요, 대신 삼각형의 내각의 크기와 한 변의 길이가 주어져있습니다. 이때, 적절하게 보조선을 긋게 되면 문제를 해결할 수가 있어요. 꼭짓점 A에서 마주보는 변 BC에 수선의 발을 긋게 되면 2개의 직각삼각형이 만들어집니다. 보통 이런 문제는 각각의 삼각형의 내각이 삼각비의 값을 알고 있는 '특수각'입니다. 이를 바탕으로 풀이를 하면 다음과 같아요.  이처럼 보조선을 그어서 ..
중등 1학년 수학 > 평행선의 성질 > 보조선을 긋는 평행선의 성질 연습문제 프린트 학습 중등 1학년 수학 > 평행선의 성질 > 보조선을 긋는 평행선의 성질 연습문제 프린트 학습 평행선의 성질 문제 중에 보조선을 그어야 쉽게 해결이 가능한 문제들이 있어요. 보조선은 문제에서 주어지지 않고, 문제를 푸는 사람이 문제 해결에 도움이 되는 선을 직접 그려서 문제를 푸는 걸 말해요. 아래와 같은 문제가 있다고 해볼게요. 참고로 두 직선 $l$, $m$이 서로 평행하다는 조건이 있는 이유는 동위각, 엇각의 크기가 같다는 성질을 이용할 수 있기 때문이에요. 위 문제에서 보조선은 어디에 긋는게 좋을까요? 보조선을 어디에 그어야 한다는 정답은 사실 없어요. 보통 아래처럼 뾰족한 꼭짓점을 지나면서 직선 $l, m$과 평행한 보조선을 그으면 좋아요. 보조선을 긋는 것은 처음에는 굉장히 어려운데요, 문제를 여러..
중등 1학년 수학 > 입체도형의 겉넓이와 부피 > 구의 부피, 구의 겉넓이 공식 쉽게 암기하는 법, 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 입체도형의 겉넓이와 부피 > 구의 부피, 구의 겉넓이 공식 쉽게 암기하는 법, 연습문제 프린트 학습지 구의 부피$$V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$$ 구의 겉넓이$$S=4\pi r^2$$  구의 부피 공식과 겉넓이 공식은 많은 학생들이 암기하고 있지만 시간이 흐르면서 조금씩 헷갈리거나 잊어버리는 경우가 많은데요, 공식을 조금이라도 오래 기억하기 위해서는 공식의 모양과 생김새를 어떤 식으로든 연결시키거나 연상하는 방법으로 익히면 도움이 될거에요.  특히, 구의 겉넓이 공식과 구의 부피 공식은 공통 인수가 $4\pi r$로서 거의 대부분의 식을 공유하고 있어요. 이렇게 공식을 암기해보았어요. 구와 관련된 문제를 몇개 풀어보도록 하겠습니다.  반지름이 $7cm$인 구의 겉넓이는 $..
중등 1학년 수학 > 원과 부채꼴 > 부채꼴의 넓이, 부채꼴의 호의 길이 공식과 원리, 연습문제 프린트 학습지 중등 1학년 수학 > 원과 부채꼴 > 부채꼴의 넓이, 부채꼴의 호의 길이 공식과 원리, 연습문제 프린트 학습지 원과 부채꼴 단원에서는 부채꼴의 둘레와 넓이에 대한 공식들이 많이 나오는데요, 부채꼴의 둘레와 넓이를 원의 둘레와 넓이의 연장선 상에서 이해를 하면 공식을 쉽게 이해하고 암기할 수 있어요.  우선 부채꼴이란 무엇일까요? 간단하게 말해 부채꼴은 원을 조각 냈을 때, 일부분을 말해요. 조금 더 구체적으로는 원의 중심을 포함하고 있는 원의 일부분이예요. 아래 그림을 보시면, 조금 더 느낌이 오실거에요. 그래서 부채꼴의 넓이, 부채꼴의 호의 길이를 계산하는 것과 원의 둘레, 원의 넓이를 계산하는 것은 밀접한 관계가 있답니다.이때 부채꼴은 비율이라는 개념과 함께 등장해요.  비율$비율=\dfrac{비교하..
중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프를 보고 함수식을 구하기 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프를 보고 함수식을 구하기 연습문제 프린트 학습지 이차함수의 그래프를 보면 함수식을 알 수도 있는데요, 특히 꼭짓점이 어디에 있고, x,y절편이 무엇인지를 알면 함수식을 구하는데 유리하답니다. 아래 문제를 하나 보도록 할게요. 꼭짓점의 좌표가 $(p,q)$인 경우 다음과 같이 이차함수식을 세울 수 있어요. $$y=a(x-p)^2+q$$이때, 꼭짓점의 좌표를 알면 $a$라는 미지수를 구하기만 하면 함수식을 모두 구할 수 있어요. 위 문제에서는 꼭짓점의 좌표가 $(-2,-1)$이므로$$y=a(x+2)^2-1$$이고, y절편이 $3$이므로 $x=0, y=3$을 대입하면$$3=a(0+2)^2-1$$$$3=4a-1$$$$4=4a$$$$a=1$$ 이렇게 하여 이차함수..
중등 2학년 수학 > 이등변삼각형 > 이등변삼각형의 성질 증명 개념 연습문제 프린트 학습지 중등 2학년 수학 > 이등변삼각형 > 이등변삼각형의 성질 개념 연습문제 프린트 학습지 이등변삼각형 두 변의 길이가 같은 삼각형 이등변삼각형이 등장하는 문제를 풀 때에는 이등변삼각형의 성질을 떠올리면 많은 힌트를 얻을 수 있어요. 우리는 매번 이등변삼각형을 보면서 '여기가 40도면 여기도 40도야!' 라고 풀었던 걸 기억할거에요. 그때 누군가 옆에서 '왜 두 밑각의 크기가 같지?' 라고 질문할 때 뭐라고 대답할 수 있을까요? '그야! 당연히 이등변삼각형이니까!' 라고 대답을 해요. 그러면 다시 이렇게 질문할거에요. '이등변삼각형인건 알겠어. 그런데 왜 두 밑각이 서로 같아?' 그때 당연한 걸 왜 묻냐는 표정으로 이렇게 대답하는 경우가 많을거에요. '여기봐! 같아보이지 않아? 비슷하잖아!'  자 그럼 여기에..
중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 꼭짓점의 좌표 구하기, 개념 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 이차함수 > $y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점의 좌표 구하기 개념 연습문제 프린트 학습지 이차함수의 그래프를 그릴 때, '꼭짓점'의 좌표를 구하는게 가장 중요해요. 이차함수의 그래프의 특징이 꼭짓점을 가진 포물선 모양이기 때문에 그 특성을 활용하는 거에요.  만약 다음과 같은 함수식일 경우에는 꼭짓점의 좌표를 쉽게 구할 수 있는데요,  $y=(x+3)^2-2$의 꼭짓점의 좌표는 $(-3,-2)$$y=-(x-1)^2+3$의 꼭짓점의 좌표는 $(1,3)$$y=x^2-1$의 꼭짓점의 좌표는 $(0,-1)$...이것을 공식화하면 다음과 같습니다. $y=a(x-p)^2+q$의 꼭짓점은 $(p,q)$ 이렇게 꼭짓점의 좌표를 바로 읽을 수 있는 형태를 '이차함수의 표준형'이라고 부른답니다. 한편..
중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프의 평행이동 개념, 연습문제 프린트 학습지 중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프의 평행이동 개념, 연습문제 프린트 학습지 이차함수의 그래프를 잘 그리는 방법은 바로 '평행이동'의 개념을 이해하는 것과 밀접한 관계가 있어요. 사실 중학교 수학 뿐만 아니라 고등 수학의 90%의 내용은 함수이고, 함수의 그래프를 잘 그리려면 식을 잘 이해해야하는데요, 함수식은 '모양'과 '이동' 두 가지로 분류될 수 있어요. 함수의 기본적인 형태(이동을 하지 않은 상태)에서 모양을 공부하고 나면 다음으로 함수가 이동하는 식을 공부하는 거에요. 그럼 함수는 끝이랍니다.  이차함수는 $y=ax^2$라는 기본적인 형태를 가지고 있는데요, x축의 방향(좌우 방향)으로 이동해보고, y축의 방향(상하 방향)으로 이동시켜보면서 식과 그래프의 밀접한 관계를 공부하면 ..

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