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중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 꼭짓점의 좌표 구하기, 개념 연습문제 프린트 학습지

중등 3학년 수학 > 이차함수 > y=ax2+bx+c의 꼭짓점의 좌표 구하기 개념 연습문제 프린트 학습지

 

이차함수의 그래프를 그릴 때, '꼭짓점'의 좌표를 구하는게 가장 중요해요. 이차함수의 그래프의 특징이 꼭짓점을 가진 포물선 모양이기 때문에 그 특성을 활용하는 거에요. 

 

만약 다음과 같은 함수식일 경우에는 꼭짓점의 좌표를 쉽게 구할 수 있는데요, 

 

y=(x+3)22의 꼭짓점의 좌표는 (3,2)

y=(x1)2+3의 꼭짓점의 좌표는 (1,3)

y=x21의 꼭짓점의 좌표는 (0,1)

...

이것을 공식화하면 다음과 같습니다. 

y=a(xp)2+q의 꼭짓점은 (p,q)

 

이렇게 꼭짓점의 좌표를 바로 읽을 수 있는 형태를 '이차함수의 표준형'이라고 부른답니다. 

한편 다음과 같이 생긴 함수식도 있는데요, 

 

y=x22x+1

 

이러한 식은 곧바로 꼭짓점의 좌표를 읽을 수가 없어요. 이런 함수식의 형태를 '이차함수의 일반형'이라고 부릅니다. 

 

y=ax2+bx+c

 

이차함수의 일반형을 표준형으로 만들기 위해서는 식의 변형이 필요해요. 

문제를 직접 풀어보면서 꼭짓점을 구하는 방법을 공부해보기로 해요. 

이차함수 y=2x2+16x+28에서 이차항과 일차항을 이차항의 계수로 묶어줍니다.

y=2(x2+8x)+28

이때, 괄호안의 식을 완전제곱꼴로 만들기 위해 상수를 빌려와야하는데요, (÷2)2인 16을 더하고 빼면 다음과 같아요. 

y=2(x2+8x+1616)+28

x2+8x+16부분은 완전제곱식이 되고, 16은 괄호 밖의 2와 곱해져 나옵니다. 

y=2(x+4)232+28=2(x+4)24

따라서 꼭짓점의 좌표는 (4,4)가 됩니다. 정리하면,

 

문제를 하나 더 풀어볼까요. 

 

우선 이차항의 계수인 3으로 이차항과 일차항을 묶어줍니다. 

y=3(x26x)24

다음으로 괄호안의 식을 완전제곱꼴로 만들기 위해 상수 9를 더하고 빼주면,

y=3(x26x+99)24

x26x+9(x3)2으로 완전제곱식으로 만들고 괄호안의 93과 곱해져 나옵니다.

y=3(x3)2+2724=3(x3)2+3

따라서 꼭짓점의 좌표는 (3,3)가 됩니다. 

 

꼭짓점을 찾은 다음에는 좌표평면에서 꼭짓점을 그리고 위로 볼록 또는 아래로 볼록인 포물선을 그리면 이차함수의 그래프를 90% 이상 그린 셈인데요, 자세하게 그리고 싶으면 x축과 만나는 점과 y축과 만나는 점을 찾고 그리면 됩니다. 

 

이렇게 y=ax2+bx+c와 같은 이차함수의 일반형을 표준형으로 변형하여 꼭짓점을 찾는 법에 대해서 공부했는데요, 

눈으로 보는 것보다 직접 계산을 해보는 훈련을 반드시 해야 문제를 푸는 힘을 기를 수 있어요. 

아래는 수학 함수 문제를 무제한으로 생성해서 프린트 할 수 있는 '모두매쓰' 사이트예요. 위의 문제도 모두 모두매쓰에서 만든 문제랍니다.  문제지와 정답지가 동시에 생성되고 함께 프린트 할 수 있어요. 

모두매쓰에서 프린트하여 많이 연습하시고 이차함수의 그래프를 잘 그릴 수 있기를 바랍니다. 

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