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중등 3학년 수학 > 이차함수 > $y=ax^2+bx+c$의 꼭짓점의 좌표 구하기 개념 연습문제 프린트 학습지

 

이차함수의 그래프를 그릴 때, '꼭짓점'의 좌표를 구하는게 가장 중요해요. 이차함수의 그래프의 특징이 꼭짓점을 가진 포물선 모양이기 때문에 그 특성을 활용하는 거에요. 

 

만약 다음과 같은 함수식일 경우에는 꼭짓점의 좌표를 쉽게 구할 수 있는데요, 

 

$y=(x+3)^2-2$의 꼭짓점의 좌표는 $(-3,-2)$

$y=-(x-1)^2+3$의 꼭짓점의 좌표는 $(1,3)$

$y=x^2-1$의 꼭짓점의 좌표는 $(0,-1)$

...

이것을 공식화하면 다음과 같습니다. 

$y=a(x-p)^2+q$의 꼭짓점은 $(p,q)$

 

이렇게 꼭짓점의 좌표를 바로 읽을 수 있는 형태를 '이차함수의 표준형'이라고 부른답니다. 

한편 다음과 같이 생긴 함수식도 있는데요, 

 

$y=x^2-2x+1$

 

이러한 식은 곧바로 꼭짓점의 좌표를 읽을 수가 없어요. 이런 함수식의 형태를 '이차함수의 일반형'이라고 부릅니다. 

 

$y=ax^2+bx+c$

 

이차함수의 일반형을 표준형으로 만들기 위해서는 식의 변형이 필요해요. 

문제를 직접 풀어보면서 꼭짓점을 구하는 방법을 공부해보기로 해요. 

이차함수 $y=2x^2+16x+28$에서 이차항과 일차항을 이차항의 계수로 묶어줍니다.

$$y=2(x^2+8x)+28$$

이때, 괄호안의 식을 완전제곱꼴로 만들기 위해 상수를 빌려와야하는데요, $(일차항의 계수\div{2})^2$인 16을 더하고 빼면 다음과 같아요. 

$$y=2(x^2+8x+16-16)+28$$

$x^2+8x+16$부분은 완전제곱식이 되고, $-16$은 괄호 밖의 $2$와 곱해져 나옵니다. 

$$y=2(x+4)^2-32+28=2(x+4)^2-4$$

따라서 꼭짓점의 좌표는 $(-4,-4)$가 됩니다. 정리하면,

 

문제를 하나 더 풀어볼까요. 

 

우선 이차항의 계수인 $-3$으로 이차항과 일차항을 묶어줍니다. 

$$y=-3(x^2-6x)-24$$

다음으로 괄호안의 식을 완전제곱꼴로 만들기 위해 상수 $9$를 더하고 빼주면,

$$y=-3(x^2-6x+9-9)-24$$

$x^2-6x+9$는 $(x-3)^2$으로 완전제곱식으로 만들고 괄호안의 $-9$는 $-3$과 곱해져 나옵니다.

$$y=-3(x-3)^2+27-24=-3(x-3)^2+3$$

따라서 꼭짓점의 좌표는 $(3,3)$가 됩니다. 

 

꼭짓점을 찾은 다음에는 좌표평면에서 꼭짓점을 그리고 위로 볼록 또는 아래로 볼록인 포물선을 그리면 이차함수의 그래프를 90% 이상 그린 셈인데요, 자세하게 그리고 싶으면 $x$축과 만나는 점과 $y$축과 만나는 점을 찾고 그리면 됩니다. 

 

이렇게 $y=ax^2+bx+c$와 같은 이차함수의 일반형을 표준형으로 변형하여 꼭짓점을 찾는 법에 대해서 공부했는데요, 

눈으로 보는 것보다 직접 계산을 해보는 훈련을 반드시 해야 문제를 푸는 힘을 기를 수 있어요. 

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모두매쓰에서 프린트하여 많이 연습하시고 이차함수의 그래프를 잘 그릴 수 있기를 바랍니다. 

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