중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프를 보고 함수식을 구하기 연습문제 프린트 학습지

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이차함수의 그래프를 보면 함수식을 알 수도 있는데요, 특히 꼭짓점이 어디에 있고, x,y절편이 무엇인지를 알면 함수식을 구하는데 유리하답니다.

아래 문제를 하나 보도록 할게요.

꼭짓점의 좌표가 $(p, q)$ 인 경우 다음과 같이 이차함수식을 세울 수 있어요.

$y = a (x - p)^{2} + q$

이때, 꼭짓점의 좌표를 알면 $a$ 라는 미지수를 구하기만 하면 함수식을 모두 구할 수 있어요. 위 문제에서는 꼭짓점의 좌표가 $(- 2, - 1)$ 이므로

$y = a (x + 2)^{2} - 1$

이고, y절편이 $3$ 이므로 $x = 0, y = 3$ 을 대입하면

$3 = a (0 + 2)^{2} - 1$

$3 = 4 a - 1$

$4 = 4 a$

$a = 1$

이렇게 하여 이차함수식을 다음과 같이 완성할 수 있어요.

$y = (x + 2)^{2} - 1$

문제에서는 $y = a x^{2} + b x + c$ 꼴로 변형하여 $a + b + c$ 의 값을 구해야하므로 식을 전개해야합니다.

$y = (x + 2)^{2} - 1 = x^{2} + 4 x + 3$

따라서 $a = 1, b = 4, c = 3$ 이고 $a + b + c = 7$ 입니다.

이차함수의 그래프를 해석하여 식으로 완성시키는 문제는 굉장히 다양하게 응용이 되고 있어요. 다음 문제도 풀어보도록 하겠습니다.

이번에는 이차함수의 꼭짓점을 알 수 없지만, $x$ 절편에 대한 정보를 알 수 있는 그래프예요. 일반적으로 $x$ 절편의 값이 p, q인 경우 다음과 같이 이차함수식을 세울 수 있어요.

$y = a (x - p) (x - q)$

위 문제에서는 $x$ 절편이 $- 4, 1$ 이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$y = a (x + 4) (x - 1)$

여기에서 미지수 $a$ 는 그래프의 모양에 대한 정보를 담고 있지만 아직까지는 정확한 값을 모르는 상태예요. 그래프에서 또 다른 정보를 찾아서 식에 적용해야해요. 문제에서는 삼각형의 넓이가 $10 c m^{2}$ 라고 하므로 점H의 $y$ 좌표가 $4$ 라는 것을 알 수 있어요. 즉 $(0, 4)$ 를 이차함수의 그래프가 지나고 있어요. 값을 대입하면 성립하므로

$x = 0, y = 4$ 를 대입하면,

$4 = a (0 + 4) (0 - 1) = - 4 a$

$a = - 1$

따라서 이차함수식은 다음과 같이 완성할 수 있어요.

$y = - (x + 4) (x - 1)$

이제 식을 전개하면

$y = - (x + 4) (x - 1) = - x^{2} - 3 x + 4$

따라서 $a = - 1, b = - 3, c = 4$ 이므로 정답은 0입니다.

이차함수의 그래프를 보고 이차함수식을 구하는 두 가지 유형에 대해서 공부했어요.

꼭짓점을 기준으로 식을 세우는 것과, x절편의 값을 기준으로 식을 세우는 두 가지가 대표적이랍니다.

다음은 이차함수의 문제를 무제한으로 생성하여 프린트할 수 있는 '모두매쓰'라는 사이트 링크입니다.

다양한 형태의 그래프를 보면서 함수식을 찾는 연습을 하면 많은 도움이 되실거에요.