중등 2학년 수학 > 이등변삼각형 > 이등변삼각형의 성질 증명 개념 연습문제 프린트 학습지

중등 2학년 수학 > 이등변삼각형 > 이등변삼각형의 성질 개념 연습문제 프린트 학습지

 

이등변삼각형

 

두 변의 길이가 같은 삼각형

 

이등변삼각형이 등장하는 문제를 풀 때에는 이등변삼각형의 성질을 떠올리면 많은 힌트를 얻을 수 있어요.

 

우리는 매번 이등변삼각형을 보면서

 

'여기가 40도면 여기도 40도야!'

 

라고 풀었던 걸 기억할거에요. 그때 누군가 옆에서

 

'왜 두 밑각의 크기가 같지?'

 

라고 질문할 때 뭐라고 대답할 수 있을까요?

 

'그야! 당연히 이등변삼각형이니까!'

 

라고 대답을 해요. 그러면 다시 이렇게 질문할거에요.

 

'이등변삼각형인건 알겠어. 그런데 왜 두 밑각이 서로 같아?'

 

그때 당연한 걸 왜 묻냐는 표정으로 이렇게 대답하는 경우가 많을거에요.

 

'여기봐! 같아보이지 않아? 비슷하잖아!' 

 

자 그럼 여기에 대한 확실한 대답. 증명을 시작해볼게요

'이등변삼각형이면 두 밑각의 크기가 같다.'가 참임을 증명하시오.

이 문제는 이등변삼각형의 성질인 '이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다'는 것을 증명하는 문제예요. 

위 삼각형을 보시면, 각A의 이등분선을 긋고, 이등분선과 선분BC가 만나는 점을 D라고 하고 있어요. 증명 문제에서는 '출발점'이 매우 중요한데요, 참과 거짓을 말할 때에는 순서가 중요하기 때문이에요. 

아무튼 이제 삼각형ABC는 삼각형ABD와 삼각형ACD 두 개의 삼각형으로 나뉘어졌습니다. 

이 두 삼각형의 관계가 '합동'이라는 것을 증명하면 돼요. 

삼각형의 합동은 SSS, SAS, ASA, RHA, RHS 다섯가지가 있어요. 이 중에 어떤 것인지 찾는 과정이 문제를 푸는 과정입니다. 

1번 보기에 들어가는 것은 선분AC인데요, 문제에서 처음에 이등변삼각형이라는 조건이 주어졌기 때문에 말할 수 있는 조건입니다. 

그리고 나머지 조건들을 보면, 처음에 각A에서 이등분선을 그었다고 했으므로 조건을 그대로 활용하면, 각BAD와 각CAD가 같고, 두 삼각형 ABD, 삼각형 ACD에서 선분 AD는 공통으로 가지는 선분임이 확실해요. 이렇게 증명을 할 때에는 주어진 조건에서 뽑아내야한다는 점을 명심하길 바래요. 

그렇다면 여러 합동 조건 중에서 SAS합동 조건에 부합한다는 것을 확인할 수 있고, 두 삼각형은 합동이예요. 

두 삼각형이 같으므로 위와 같이 두 밑각의 크기가 같다는 결론을 내릴 수 있어요. 다음에는

'어? 이등변삼각형이네? 그러니 두 밑각의 크기가 같아!'

라고 하고, 누군가 ' 왜 두 밑각이 같아? '라고 물으면 위와 같이 SAS 합동 조건을 하나씩 조목조목 말해주면 돼요. 

 

그럼 반대로 이건 어때요?

 

두 밑각의 크기가 같네? 그럼 이등변삼각형이야!

 

둘다 같은 말 아니냐구요? 아니요, 완전히 다른 문장이에요. 

 

이등변삼각형이면 두 밑각의 크기가 같다.

두 밑각의 크기가 같으면 이등변삼각형이다. 

 

 

두 문장은 얼핏보면 같아보이지만 수학에서는 완전히 다른 문장이에요. 

즉 첫번째 문장이 참이라고 해서 두번째 문장의 참을 보장해주지 않아요. 재미있게도 서로 독립적인 관계랍니다. 

 

 

A이면 B이다.   ≠   B이면 A이다.

 

이런 문장을 생각해보면 이해할 수 있어요. 

 

사람이면 동물이다.

동물이면 사람이다. 

 

두 문장은 어떤가요? 첫번째 문장은 '참'이예요. 하지만 그렇다고해서 두번째 문장도 참인가요? 그렇지 않죠? 

다시 삼각형과 관련된 두 문장을 가지고 올게요. 

 

이등변삼각형이면 두 밑각의 크기가 같다.  (= 이등변삼각형이다 → 두 밑각의 크기가 같다)

두 밑각의 크기가 같으면 이등변삼각형이다.  (= 두 밑각의 크기가 같다 → 이등변삼각형이다)

 

이 두 문장이 다르다는 것을 구별한다면 이등변삼각형의 성질에 대한 깊이있는 학습을 하고 있는 거랍니다. 

 

우리가 증명했던 문장은 첫번째일까요 두번째일까요? 네! 첫번째 문장을 증명한거예요. 이등변삼각형이면 왜 두 밑각이 같은지를 증명한 셈이지요. 

그럼 두 번째 문장도 증명해볼까요?

 

'두 밑각의 크기가 같으면 이등변삼각형이다.'가 참임을 증명하시오.

어떤 학생이 이렇게 말하는거에요. 

'이건 이등변삼각형이 맞아! 왜냐하면 두 밑각의 크기가 같기 때문이지.'

결과적으로 맞는 말이긴 한데 누군가가 '왜?'라고 묻는다면 뭐라고 대답해야할까요?

'왜냐하면 두 밑각의 크기가 같으니까' 라고 대답하고, 또 '왜?'라고 대답하고 반복되겠죠.

 

증명을 시작해볼게요. 아까 증명했던 문장은

 

이등변삼각형의 주어졌을 때, 두 밑각의 크기가 같다는 것을 증명한거고,

 

지금은

 

두 밑각의 크기가 같음이 주어졌을 때, 그 삼각형이 이등변삼각형임을 증명하는거에요.  

 

잘 구별하길 바라면서 시작할게요.  

우선 꼭짓점 A에서 선분BC 방향으로 각의 이등분선을 긋고, 만나는 점을 D라고 할게요.

 

두 삼각형 ABD, ACD에서 자명한 부분이 무엇인가요?

 

1. 각B = 각C

2. 선분AD는 공통

 

여기에서 각ADB와 각ADC는 같을까요 다를까요? 각의 크기를 추론하는 문제예요. 

지금 두 삼각형의 각 중 2개의 각이 각각 같아요. 그러면 나머지 각도 같음을 알 수 있어요!

1. 각B = 각C, 각BAD=각CAD → 각ADB=각ADC

2. 선분AD는 공통

3. 각BAD=각CAD

 

3가지 조건이 ASA합동을 말해주고 있어요. ASA합동은 한 변의 길이가 같고, 양 끝각의 크기가 같을 때의 합동조건이에요. 

 

그래서 결론이 무엇인가요?

두 삼각형은 완전히 똑같은 삼각형임이 확실하므로, 

증명이 되었어요. 

 

그리고 하나 더 이등변삼각형의 중요한 성질이 있어요. 

 

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 마주보는 선분을 수직이등분한다

 

두 삼각형ABD, ACD가 합동이므로 필연적으로 직각이 만들어지는데요,

이등변삼각형의 각의 이등분선은 수직이등분선이라는 특별한 의미가 된다는 것! 이등변삼각형 문제에서 언제나 빠지지 않고 등장하는 개념이랍니다. 이것의 증명은 맨처음 증명했던 것과 같아요. 결국 합동이기 때문에 파생되는 성질이죠. 

 

자, 이등변삼각형에 대해서 여러 가지 증명을 공부했고, 왜 그러한 성질을 가질 수 밖에 없는지 공부해봤어요. 

 

아래는 이와 관련된 이등변삼각형 문제를 프린트하여 공부할 수 있는 학습사이트 '모두매쓰'에 대한 소개입니다. 

모두매쓰는 수학 문제를 원하는 유형, 원하는 문제수를 지정하여 무제한으로 생성하고 프린트할 수 있는 학습 사이트입니다. 

이등변삼각형의 문제를 직접 풀어보면서 개념을 정리하시기를 추천드리며 이만 글을 마치겠습니다. 

좋은 하루되세요~

 

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