수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

함수 $ f(x) = x^2 - 4x + 4 $의 곡선과 점 $ (3, -2) $를 지나는 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선 함수 $ f(x) = x^2 - 4x + 4 $의 도함수 $ f'(x) $를 구합니다.

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 4) $$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$ f'(x) = 2x - 4 $$

접선의 기울기는 $ f'(x) $와 같으므로, 접선의 방정식은 기울기 $ m = 2x - 4 $를 가지는 직선입니다.

점 $ (3, -2) $을 지나는 접선의 방정식을 구하기 위해 $ (x_1, y_1) $가 접점이라 하면, 접선의 방정식은 다음과 같습니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

여기서 $ y_1 = f(x_1) = x_1^2 - 4x_1 + 4 $이고, $ m = 2x_1 - 4 $입니다.

따라서, 접선의 방정식은:

$$ y - (x_1^2 - 4x_1 + 4) = (2x_1 - 4)(x - x_1) $$

이 접선이 점 $ (3, -2) $을 지나야 하므로, $ x = 3 $일 때 $ y = -2 $를 대입합니다:

$$ -2 - (x_1^2 - 4x_1 + 4) = (2x_1 - 4)(3 - x_1) $$

이를 정리하면:

$$ -2 - x_1^2 + 4x_1 - 4 = 6x_1 - 2x_1^2 - 12 $$

$$ -x_1^2 + 4x_1 - 6 = 6x_1 - 2x_1^2 - 12 $$

$$ x_1^2 - 2x_1 - 6 = 0 $$

이 이차방정식을 풀면:

$$ x_1 = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7} $$

두 접점 $ x_1 = 1 + \sqrt{7} $와 $ x_1 = 1 - \sqrt{7} $에서의 접선의 방정식을 구합니다.

1. $ x_1 = 1 + \sqrt{7} $일 때:

$$ y_1 = (1 + \sqrt{7})^2 - 4(1 + \sqrt{7}) + 4 $$

$$ y_1 = 1 + 2\sqrt{7} + 7 - 4 - 4\sqrt{7} + 4 $$

$$ y_1 = 12 - 2\sqrt{7} $$

접선의 기울기 $ m = 2(1 + \sqrt{7}) - 4 = 2\sqrt{7} - 2 $

접선의 방정식은:

$$ y - (12 - 2\sqrt{7}) = (2\sqrt{7} - 2)(x - (1 + \sqrt{7})) $$

이를 정리하면:

$$ y = (2\sqrt{7} - 2)x + 14 - 4\sqrt{7} $$

2. $ x_1 = 1 - \sqrt{7} $일 때:

$$ y_1 = (1 - \sqrt{7})^2 - 4(1 - \sqrt{7}) + 4 $$

$$ y_1 = 1 - 2\sqrt{7} + 7 - 4 + 4\sqrt{7} + 4 $$

$$ y_1 = 12 + 2\sqrt{7} $$

접선의 기울기 $ m = 2(1 - \sqrt{7}) - 4 = -2\sqrt{7} - 2 $

접선의 방정식은:

$$ y - (12 + 2\sqrt{7}) = (-2\sqrt{7} - 2)(x - (1 - \sqrt{7})) $$

이를 정리하면:

$$ y = (-2\sqrt{7} - 2)x + 14 + 4\sqrt{7} $$

정답:

점 $ (3, -2) $를 지나는 접선의 방정식은 $ y = (2\sqrt{7} - 2)x + 14 - 4\sqrt{7} $ 또는 $ y = (-2\sqrt{7} - 2)x + 14 + 4\sqrt{7} $입니다.