수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

함수 $f(x)=x^2-4x+4$의 곡선과 점 $(3,-2)$를 지나는 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선 함수 $f(x)=x^2-4x+4$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^2-4x+4)$$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$f^{\prime }(x)=2x-4$$

접선의 기울기는 $f^{\prime }(x)$와 같으므로, 접선의 방정식은 기울기 $m=2x-4$를 가지는 직선입니다.

점 $(3,-2)$을 지나는 접선의 방정식을 구하기 위해 $(x_1,y_1)$가 접점이라 하면, 접선의 방정식은 다음과 같습니다:

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

여기서 $y_1=f(x_1)=x_1^2-4x_1+4$이고, $m=2x_1-4$입니다.

따라서, 접선의 방정식은:

$$y-(x_1^2-4x_1+4)=(2x_1-4)(x-x_1)$$

이 접선이 점 $(3,-2)$을 지나야 하므로, $x=3$일 때 $y=-2$를 대입합니다:

$$-2-(x_1^2-4x_1+4)=(2x_1-4)(3-x_1)$$

이를 정리하면:

$$-2-x_1^2+4x_1-4=6x_1-2x_1^2-12$$

$$-x_1^2+4x_1-6=6x_1-2x_1^2-12$$

$$x_1^2-2x_1-6=0$$

이 이차방정식을 풀면:

$$x_1=\frac{2\pm \sqrt{4+24}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{28}}{2}=1\pm \sqrt{7}$$

두 접점 $x_1=1+\sqrt{7}$와 $x_1=1-\sqrt{7}$에서의 접선의 방정식을 구합니다.

1. $x_1=1+\sqrt{7}$일 때:

$$y_1=(1+\sqrt{7}{)}^2-4(1+\sqrt{7})+4$$

$$y_1=1+2\sqrt{7}+7-4-4\sqrt{7}+4$$

$$y_1=12-2\sqrt{7}$$

접선의 기울기 $m=2(1+\sqrt{7})-4=2\sqrt{7}-2$

접선의 방정식은:

$$y-(12-2\sqrt{7})=(2\sqrt{7}-2)(x-(1+\sqrt{7}))$$

이를 정리하면:

$$y=(2\sqrt{7}-2)x+14-4\sqrt{7}$$

2. $x_1=1-\sqrt{7}$일 때:

$$y_1=(1-\sqrt{7}{)}^2-4(1-\sqrt{7})+4$$

$$y_1=1-2\sqrt{7}+7-4+4\sqrt{7}+4$$

$$y_1=12+2\sqrt{7}$$

접선의 기울기 $m=2(1-\sqrt{7})-4=-2\sqrt{7}-2$

접선의 방정식은:

$$y-(12+2\sqrt{7})=(-2\sqrt{7}-2)(x-(1-\sqrt{7}))$$

이를 정리하면:

$$y=(-2\sqrt{7}-2)x+14+4\sqrt{7}$$

정답:

점 $(3,-2)$를 지나는 접선의 방정식은 $y=(2\sqrt{7}-2)x+14-4\sqrt{7}$ 또는 $y=(-2\sqrt{7}-2)x+14+4\sqrt{7}$입니다.

 

 

 

 

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