수학 II > 도함수의 활용 > 지면에서 위로 던진 공의 운동 방향 전환 시간과 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도 구하는 연습문제 프린트 학습지

수학 II > 도함수의 활용 > 지면에서 위로 던진 공의 운동 방향 전환 시간과 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도 구하는 연습문제

문제 1:

지면에서 위로 던진 공의 높이 $s(t)$가 시간 $t$에 대해 $s(t)=-5t^2+20t+1$로 주어질 때, 다음을 구하시오.

1. 공이 운동 방향을 바꿀 때의 시간
2. 공이 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도

풀이:

1. 공이 운동 방향을 바꿀 때의 시간

공이 운동 방향을 바꿀 때는 속도가 0이 되는 시점입니다. 주어진 높이 함수 $s(t)$의 속도 $v(t)$를 구합니다:

$$v(t)=\frac{ds(t)}{dt}$$

$$v(t)=\frac{d}{dt}(-5t^2+20t+1)$$

$$v(t)=-10t+20$$

속도가 0이 되는 시간을 구하면:

$$-10t+20=0$$

$$t=2$$

따라서, 공이 운동 방향을 바꾸는 시간은 $t=2$초입니다.

2. 공이 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도

지면에 떨어질 때는 높이 $s(t)$가 0이 되는 시점입니다. 주어진 높이 함수를 이용하여 시간을 구합니다:

$$s(t)=-5t^2+20t+1=0$$

이 이차방정식을 풉니다:

$$-5t^2+20t+1=0$$

근의 공식을 이용하여 풀면:

$$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

여기서 $a=-5$, $b=20$, $c=1$입니다. 대입하여 계산하면:

$$t=\frac{-20\pm \sqrt{{20}^2-4(-5)(1)}}{2(-5)}$$

$$t=\frac{-20\pm \sqrt{400+20}}{-10}$$

$$t=\frac{-20\pm \sqrt{420}}{-10}$$

$$t=\frac{-20\pm 2\sqrt{105}}{-10}$$

$$t=2\pm \frac{\sqrt{105}}{5}$$

양수인 해를 선택하면:

$$t=2+\frac{\sqrt{105}}{5}$$

이제 이 시간에서의 속도와 가속도를 구합니다.

속도 $v(t)$는:

$$v(2+\frac{\sqrt{105}}{5})=-10(2+\frac{\sqrt{105}}{5})+20$$

$$v(2+\frac{\sqrt{105}}{5})=-20-2\sqrt{105}+20$$

$$v(2+\frac{\sqrt{105}}{5})=-2\sqrt{105}$$

가속도 $a(t)$는 시간에 상관없이 일정합니다:

$$a(t)=-10$$

정답:

1. 공이 운동 방향을 바꿀 때의 시간: $t=2$초
2. 공이 지면에 떨어질 때의 속도: $v(2+\frac{\sqrt{105}}{5})=-2\sqrt{105}$
3. 공이 지면에 떨어질 때의 가속도: $a(t)=-10$

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