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수학 II > 정적분 > 간단한 정적분의 값 계산하는 연습문제

문제 1:

다음 정적분을 계산하시오: ${\int }_1^3(2x^2-3x+1)dx$

풀이:

우선 주어진 함수 $f(x)=2x^2-3x+1$의 부정적분을 구합니다.

$$\int (2x^2-3x+1)dx$$

각 항을 적분하여 계산하면:

$$\int 2x^{2}dx=\frac{2x^3}{3}$$

$$\int -3xdx=-\frac{3x^2}{2}$$

$$\int 1dx=x$$

따라서, 부정적분은:

$$\int (2x^2-3x+1)dx=\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+x+C$$

이제 정적분의 상한과 하한을 이용하여 계산합니다:

$${[\frac{2x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+x]}_1^3$$

상한 $x=3$을 대입하면:

$$(\frac{2(3{)}^3}{3}-\frac{3(3{)}^2}{2}+3)=(\frac{54}{3}-\frac{27}{2}+3)=(18-\frac{27}{2}+3)=(18-\frac{27}{2}+\frac{6}{2})=(\frac{36}{2}-\frac{27}{2}+\frac{6}{2})=\frac{15}{2}$$

하한 $x=1$을 대입하면:

$$(\frac{2(1{)}^3}{3}-\frac{3(1{)}^2}{2}+1)=(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+1)=(\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+\frac{3}{3})=(\frac{2}{3}-\frac{9}{6}+\frac{6}{6})=(\frac{2}{3}-\frac{3}{6})=\frac{1}{6}$$

정적분의 값은 상한에서 하한을 뺀 값입니다:

$$\frac{15}{2}-\frac{1}{6}$$

이를 통분하여 계산하면:

$$\frac{45}{6}-\frac{1}{6}=\frac{44}{6}=\frac{22}{3}$$

정답:

$${\int }_1^3(2x^2-3x+1)dx=\frac{22}{3}$$

 

 

 

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