수학 II > 정적분 > 간단한 정적분의 값 계산하는 연습문제 프린트 학습지

수학 II > 정적분 > 간단한 정적분의 값 계산하는 연습문제

문제 1:

다음 정적분을 계산하시오: $ \int_{1}^{3} (2x^2 - 3x + 1) \, dx $

풀이:

우선 주어진 함수 $ f(x) = 2x^2 - 3x + 1 $의 부정적분을 구합니다.

$$ \int (2x^2 - 3x + 1) \, dx $$

각 항을 적분하여 계산하면:

$$ \int 2x^2 \, dx = \frac{2x^3}{3} $$

$$ \int -3x \, dx = -\frac{3x^2}{2} $$

$$ \int 1 \, dx = x $$

따라서, 부정적분은:

$$ \int (2x^2 - 3x + 1) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x + C $$

이제 정적분의 상한과 하한을 이용하여 계산합니다:

$$ \left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + x \right]_{1}^{3} $$

상한 $ x = 3 $을 대입하면:

$$ \left( \frac{2(3)^3}{3} - \frac{3(3)^2}{2} + 3 \right) = \left( \frac{54}{3} - \frac{27}{2} + 3 \right) = \left( 18 - \frac{27}{2} + 3 \right) = \left( 18 - \frac{27}{2} + \frac{6}{2} \right) = \left( \frac{36}{2} - \frac{27}{2} + \frac{6}{2} \right) = \frac{15}{2} $$

하한 $ x = 1 $을 대입하면:

$$ \left( \frac{2(1)^3}{3} - \frac{3(1)^2}{2} + 1 \right) = \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 \right) = \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + \frac{3}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} - \frac{9}{6} + \frac{6}{6} \right) = \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{6} \right) = \frac{1}{6} $$

정적분의 값은 상한에서 하한을 뺀 값입니다:

$$ \frac{15}{2} - \frac{1}{6} $$

이를 통분하여 계산하면:

$$ \frac{45}{6} - \frac{1}{6} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3} $$

정답:

$$ \int_{1}^{3} (2x^2 - 3x + 1) \, dx = \frac{22}{3} $$