수학 II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

수학 II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

함수 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $에서 기울기가 $ 2 $인 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선 함수 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $의 도함수 $ f'(x) $를 구합니다.

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) $$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 $$

기울기가 $ 2 $인 접선을 찾기 위해 도함수 $ f'(x) $를 $ 2 $와 같게 설정합니다:

$$ 3x^2 - 6x + 2 = 2 $$

이를 정리하면:

$$ 3x^2 - 6x = 0 $$

양 변을 $ 3 $으로 나눕니다:

$$ x^2 - 2x = 0 $$

이를 인수분해하면:

$$ x(x - 2) = 0 $$

따라서, $ x = 0 $ 또는 $ x = 2 $에서 기울기가 $ 2 $인 접선을 가질 수 있습니다.

이제 각각의 $ x $값에 대해 접선의 방정식을 구합니다.

1. $ x = 0 $일 때:

$ x = 0 $일 때의 함수값 $ f(0) $을 구합니다:

$$ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0 $$

따라서 점 $ (0, 0) $에서의 접선의 방정식은 기울기 $ 2 $를 사용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

여기서 $ (x_1, y_1) = (0, 0) $이고, $ m = 2 $입니다:

$$ y - 0 = 2(x - 0) $$

이를 정리하면:

$$ y = 2x $$

2. $ x = 2 $일 때:

$ x = 2 $일 때의 함수값 $ f(2) $을 구합니다:

$$ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0 $$

따라서 점 $ (2, 0) $에서의 접선의 방정식은 기울기 $ 2 $를 사용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

여기서 $ (x_1, y_1) = (2, 0) $이고, $ m = 2 $입니다:

$$ y - 0 = 2(x - 2) $$

이를 정리하면:

$$ y = 2x - 4 $$

정답:

기울기가 $ 2 $인 접선의 방정식은 $ y = 2x $ 또는 $ y = 2x - 4 $입니다.