수학 II > 도함수의 활용 > 함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지

수학 II > 도함수의 활용 > 함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제

문제 1:

함수 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$의 구간 $0\le x\le 4$에서의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이:

우선 함수 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x+1)$$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$$

극값을 찾기 위해 도함수 $f^{\prime }(x)$를 0으로 설정합니다:

$$3x^2-12x+9=0$$

이를 인수분해하면:

$$3(x^2-4x+3)=0$$

$$3(x-3)(x-1)=0$$

따라서, $x=3$ 또는 $x=1$에서 극값을 가집니다.

이제 주어진 구간 $0\le x\le 4$에서 함수값을 계산합니다.

1. $x=0$일 때:

$$f(0)=0^3-6(0{)}^2+9(0)+1=1$$

2. $x=1$일 때:

$$f(1)=1^3-6(1{)}^2+9(1)+1=1-6+9+1=5$$

3. $x=3$일 때:

$$f(3)=3^3-6(3{)}^2+9(3)+1=27-54+27+1=1$$

4. $x=4$일 때:

$$f(4)=4^3-6(4{)}^2+9(4)+1=64-96+36+1=5$$

따라서, 함수 $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$의 구간 $0\le x\le 4$에서의 최댓값은 $5$이고, 최솟값은 $1$입니다.

정답:

최댓값: $5$

최솟값: $1$

 

 

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