수학 II > 도함수의 활용 > 지면에서 위로 던진 공의 운동 방향 전환 시간과 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도 구하는 연습문제 프린트 학습지

수학 II > 도함수의 활용 > 지면에서 위로 던진 공의 운동 방향 전환 시간과 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도 구하는 연습문제

문제 1:

지면에서 위로 던진 공의 높이 $ s(t) $가 시간 $ t $에 대해 $ s(t) = -5t^2 + 20t + 1 $로 주어질 때, 다음을 구하시오.

1. 공이 운동 방향을 바꿀 때의 시간
2. 공이 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도

풀이:

1. 공이 운동 방향을 바꿀 때의 시간

공이 운동 방향을 바꿀 때는 속도가 0이 되는 시점입니다. 주어진 높이 함수 $ s(t) $의 속도 $ v(t) $를 구합니다:

$$ v(t) = \frac{ds(t)}{dt} $$

$$ v(t) = \frac{d}{dt}(-5t^2 + 20t + 1) $$

$$ v(t) = -10t + 20 $$

속도가 0이 되는 시간을 구하면:

$$ -10t + 20 = 0 $$

$$ t = 2 $$

따라서, 공이 운동 방향을 바꾸는 시간은 $ t = 2 $초입니다.

2. 공이 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도

지면에 떨어질 때는 높이 $ s(t) $가 0이 되는 시점입니다. 주어진 높이 함수를 이용하여 시간을 구합니다:

$$ s(t) = -5t^2 + 20t + 1 = 0 $$

이 이차방정식을 풉니다:

$$ -5t^2 + 20t + 1 = 0 $$

근의 공식을 이용하여 풀면:

$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

여기서 $ a = -5 $, $ b = 20 $, $ c = 1 $입니다. 대입하여 계산하면:

$$ t = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 - 4(-5)(1)}}{2(-5)} $$

$$ t = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 20}}{-10} $$

$$ t = \frac{-20 \pm \sqrt{420}}{-10} $$

$$ t = \frac{-20 \pm 2\sqrt{105}}{-10} $$

$$ t = 2 \pm \frac{\sqrt{105}}{5} $$

양수인 해를 선택하면:

$$ t = 2 + \frac{\sqrt{105}}{5} $$

이제 이 시간에서의 속도와 가속도를 구합니다.

속도 $ v(t) $는:

$$ v\left(2 + \frac{\sqrt{105}}{5}\right) = -10\left(2 + \frac{\sqrt{105}}{5}\right) + 20 $$

$$ v\left(2 + \frac{\sqrt{105}}{5}\right) = -20 - 2\sqrt{105} + 20 $$

$$ v\left(2 + \frac{\sqrt{105}}{5}\right) = -2\sqrt{105} $$

가속도 $ a(t) $는 시간에 상관없이 일정합니다:

$$ a(t) = -10 $$

정답:

1. 공이 운동 방향을 바꿀 때의 시간: $ t = 2 $초
2. 공이 지면에 떨어질 때의 속도: $ v\left(2 + \frac{\sqrt{105}}{5}\right) = -2\sqrt{105} $
3. 공이 지면에 떨어질 때의 가속도: $ a(t) = -10 $

수학 II > 도함수의 활용 > 지면에서 위로 던진 공의 운동 방향 전환 시간과 지면에 떨어질 때의 속도와 가속도 구하는 연습문제