수학 II > 도함수의 활용 > 함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제 프린트 학습지

수학 II > 도함수의 활용 > 함수의 최댓값과 최솟값 구하기 연습문제

문제 1:

함수 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $의 구간 $ 0 \leq x \leq 4 $에서의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

풀이:

우선 함수 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $의 도함수 $ f'(x) $를 구합니다.

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1) $$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $$

극값을 찾기 위해 도함수 $ f'(x) $를 0으로 설정합니다:

$$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 $$

이를 인수분해하면:

$$ 3(x^2 - 4x + 3) = 0 $$

$$ 3(x - 3)(x - 1) = 0 $$

따라서, $ x = 3 $ 또는 $ x = 1 $에서 극값을 가집니다.

이제 주어진 구간 $ 0 \leq x \leq 4 $에서 함수값을 계산합니다.

1. $ x = 0 $일 때:

$$ f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 1 = 1 $$

2. $ x = 1 $일 때:

$$ f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1 = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 $$

3. $ x = 3 $일 때:

$$ f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 $$

4. $ x = 4 $일 때:

$$ f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9(4) + 1 = 64 - 96 + 36 + 1 = 5 $$

따라서, 함수 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $의 구간 $ 0 \leq x \leq 4 $에서의 최댓값은 $ 5 $이고, 최솟값은 $ 1 $입니다.

정답:

최댓값: $ 5 $

최솟값: $ 1 $