수학 II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

수학 II > 도함수의 활용 > 기울기가 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

함수 $f(x)=x^3-3x^2+2x$에서 기울기가 $2$인 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선 함수 $f(x)=x^3-3x^2+2x$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+2x)$$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$$

기울기가 $2$인 접선을 찾기 위해 도함수 $f^{\prime }(x)$를 $2$와 같게 설정합니다:

$$3x^2-6x+2=2$$

이를 정리하면:

$$3x^2-6x=0$$

양 변을 $3$으로 나눕니다:

$$x^2-2x=0$$

이를 인수분해하면:

$$x(x-2)=0$$

따라서, $x=0$ 또는 $x=2$에서 기울기가 $2$인 접선을 가질 수 있습니다.

이제 각각의 $x$값에 대해 접선의 방정식을 구합니다.

1. $x=0$일 때:

$x=0$일 때의 함수값 $f(0)$을 구합니다:

$$f(0)=0^3-3(0{)}^2+2(0)=0$$

따라서 점 $(0,0)$에서의 접선의 방정식은 기울기 $2$를 사용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

여기서 $(x_1,y_1)=(0,0)$이고, $m=2$입니다:

$$y-0=2(x-0)$$

이를 정리하면:

$$y=2x$$

2. $x=2$일 때:

$x=2$일 때의 함수값 $f(2)$을 구합니다:

$$f(2)=2^3-3(2{)}^2+2(2)=8-12+4=0$$

따라서 점 $(2,0)$에서의 접선의 방정식은 기울기 $2$를 사용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다:

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

여기서 $(x_1,y_1)=(2,0)$이고, $m=2$입니다:

$$y-0=2(x-2)$$

이를 정리하면:

$$y=2x-4$$

정답:

기울기가 $2$인 접선의 방정식은 $y=2x$ 또는 $y=2x-4$입니다.

 

 

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