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수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

다음 함수 $f(x)=x^3-3x^2+2x$의 곡선 위의 점 $(1,f(1))$에서의 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선, 함수 $f(x)=x^3-3x^2+2x$에서 $x=1$일 때의 함수값 $f(1)$을 구합니다.

$$f(1)=1^3-3(1{)}^2+2(1)=1-3+2=0$$

따라서, 점 $(1,0)$에서의 접선의 방정식을 구해야 합니다.

이제 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

$$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+2x)$$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+2$$

$x=1$에서의 도함수 값, 즉 접선의 기울기를 구합니다:

$$f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-6(1)+2=3-6+2=-1$$

따라서, 접선의 기울기는 $-1$입니다.

점 $(1,0)$에서의 접선의 방정식은 점기울기방정식을 이용하여 구할 수 있습니다:

$$y-y_1=m(x-x_1)$$

여기서 $(x_1,y_1)=(1,0)$이고, $m=-1$입니다.

$$y-0=-1(x-1)$$

이를 정리하면:

$$y=-x+1$$

따라서, 점 $(1,0)$에서의 접선의 방정식은 $y=-x+1$입니다.

정답:

$$y=-x+1$$

 

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