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수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 위의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

다음 함수 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $의 곡선 위의 점 $ (1, f(1)) $에서의 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선, 함수 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $에서 $ x = 1 $일 때의 함수값 $ f(1) $을 구합니다.

$$ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2(1) = 1 - 3 + 2 = 0 $$

따라서, 점 $ (1, 0) $에서의 접선의 방정식을 구해야 합니다.

이제 함수 $ f(x) $의 도함수 $ f'(x) $를 구합니다.

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) $$

각 항을 미분하여 계산하면:

$$ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 $$

$ x = 1 $에서의 도함수 값, 즉 접선의 기울기를 구합니다:

$$ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 $$

따라서, 접선의 기울기는 $ -1 $입니다.

점 $ (1, 0) $에서의 접선의 방정식은 점기울기방정식을 이용하여 구할 수 있습니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

여기서 $ (x_1, y_1) = (1, 0) $이고, $ m = -1 $입니다.

$$ y - 0 = -1(x - 1) $$

이를 정리하면:

$$ y = -x + 1 $$

따라서, 점 $ (1, 0) $에서의 접선의 방정식은 $ y = -x + 1 $입니다.

정답:

$$ y = -x + 1 $$

 

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