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수학 II > 함수의 극한 > 간단한 극한값 구하기 연습문제

문제 1:

다음 함수 $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$의 극한을 $x$가 1로 다가갈 때 구하시오.

풀이:

우선 $x$가 1로 다가갈 때 함수 $f(x)$를 살펴보겠습니다.

$$f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x-1}$$

직접 대입하여 극한값을 구하면 분모가 0이 되므로 분자가 0이 되는지 확인해봅시다.

$$2(1{)}^2-3(1)+1=2-3+1=0$$

따라서, $x=1$에서 분자와 분모가 모두 0이 되어 직접 대입이 불가능합니다. 이럴 때는 식을 약분하거나 로피탈의 정리를 이용할 수 있습니다. 여기서는 약분을 이용해봅시다.

우선 분자를 인수분해합니다:

$$2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$$

따라서, 함수는 다음과 같이 표현됩니다:

$$f(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x-1}$$

여기서 $x\ne 1$인 경우, $x-1$로 약분이 가능합니다:

$f(x)=2x-1$

이제 $x$가 1로 다가갈 때의 극한값을 구하면 됩니다:

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}(2x-1)}$

$x$에 1을 대입하면:

$2(1)-1=2-1=1$

따라서, ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=1}$입니다.

정답:

${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^2-3x+1}{x-1}=1}$

 

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