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수학 II > 함수의 극한 > 간단한 극한값 구하기 연습문제

문제 1:

다음 함수 $ f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} $의 극한을 $ x $가 1로 다가갈 때 구하시오.

풀이:

우선 $ x $가 1로 다가갈 때 함수 $ f(x) $를 살펴보겠습니다.

$$ f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} $$

직접 대입하여 극한값을 구하면 분모가 0이 되므로 분자가 0이 되는지 확인해봅시다.

$$ 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 $$

따라서, $ x = 1 $에서 분자와 분모가 모두 0이 되어 직접 대입이 불가능합니다. 이럴 때는 식을 약분하거나 로피탈의 정리를 이용할 수 있습니다. 여기서는 약분을 이용해봅시다.

우선 분자를 인수분해합니다:

$$ 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) $$

따라서, 함수는 다음과 같이 표현됩니다:

$$ f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x - 1} $$

여기서 $ x \neq 1 $인 경우, $ x - 1 $로 약분이 가능합니다:

$ f(x) = 2x - 1 $

이제 $ x $가 1로 다가갈 때의 극한값을 구하면 됩니다:

$\displaystyle{ \lim_{x \to 1} {f(x) }= \lim_{x \to 1} {(2x - 1)}} $

$ x $에 1을 대입하면:

$ 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 $

따라서, $\displaystyle{ \lim_{x \to 1}{ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}} }= 1 $입니다.

정답:

$\displaystyle{ \lim_{x \to 1}{ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}}} = 1 $

 

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