중등 1학년 수학 > 원과 부채꼴 > 부채꼴의 넓이, 부채꼴의 호의 길이 공식과 원리, 연습문제 프린트 학습지

중등 1학년 수학 > 원과 부채꼴 > 부채꼴의 넓이, 부채꼴의 호의 길이 공식과 원리, 연습문제 프린트 학습지

 

원과 부채꼴 단원에서는 부채꼴의 둘레와 넓이에 대한 공식들이 많이 나오는데요, 

부채꼴의 둘레와 넓이를 원의 둘레와 넓이의 연장선 상에서 이해를 하면 공식을 쉽게 이해하고 암기할 수 있어요. 

 

우선 부채꼴이란 무엇일까요?

 

간단하게 말해 부채꼴은 원을 조각 냈을 때, 일부분을 말해요. 조금 더 구체적으로는 원의 중심을 포함하고 있는 원의 일부분이예요. 아래 그림을 보시면, 조금 더 느낌이 오실거에요. 

그래서 부채꼴의 넓이, 부채꼴의 호의 길이를 계산하는 것과 원의 둘레, 원의 넓이를 계산하는 것은 밀접한 관계가 있답니다.이때 부채꼴은 비율이라는 개념과 함께 등장해요. 

 

비율

$비율=\dfrac{비교하는 양}{기준량}$

 

여기서 기준량은 가령, 부채꼴의 경우의 기준량은 360도라는 각이 되는거에요. 

그럼 부채꼴의 호의 길이는 어떻게 구하면 될까요? 그림을 보면서 직관적으로 생각하면 사실은 생각보다 어렵지 않아요. 

원의 둘레가 $18\pi$일 때, 오렌지 색으로 표시된 부채꼴의 호의 길이는 얼마일까요? 그건 부채꼴이 원과 비교했을 때 얼만큼의 비율을 차지하고 있는지로 계산하면 되겠죠. 

$$18\pi \times{\dfrac{70}{360}}=\dfrac{7}{2}\pi$$

이렇게 부채꼴의 호의 길이는 원의 둘레의 일부분이라는 관점과 부채꼴의 원에 대한 비율. 두 가지를 생각하면 굉장히 단순하답니다. 그럼 이것을 공식으로 만들면 어떨까요?

 

보통 각도의 크기가 360도를 수학에서는 $2\pi$와 같이 표현해요. 각도를 $\pi$라는 라디안으로 표현하기 때문에 처음에는 다소 혼란스러울 수 있지만, 계속 보다보면 익숙해질 때가 올거에요. 

그렇다면 부채꼴의 각의 크기를 $x$라고 할 때, 부채꼴의 호의 길이에 대한 공식은 다음과 같아요. 

 

$부채꼴의 호의 길이=원의 둘레의 길이\times{부채꼴의 원에 대한 비율}$

$l=2\pi{}r\times{\dfrac{x}{360˚}}$

 

그렇다면 부채꼴의 넓이는 어떻게 구할까요? 마찬가지로 원의 넓이와 부채꼴의 원에 대한 비율을 생각하면 됩니다. 방금 부채꼴의 호의 길이를 구하는 것과 동일해요. 

부채꼴의 원의 일부분이므로 부채꼴의 넓이도 원의 넓이로부터 출발해서 계산하면 된답니다. 

위 그림에서는 원의 넓이가 $81\pi$이고, 원에 대한 부채꼴의 비율이 $\dfrac{70}{360}$이므로 원의 넓이에서 비율을 곱해주면 부채꼴의 넓이가 됩니다. 

$$81\pi \times{\dfrac{70}{360}}=\dfrac{63}{4}\pi$$

이와 같은 원리로 공식을 생각하면 다음과 같음을 알 수 있어요. 

$$부채꼴의 넓이=원의 넓이\times{원에 대한 부채꼴의 비율}$$

$$S=\pi r^2\times{\dfrac{x}{360˚}}$$

 

 

이렇게 부채꼴의 둘레와 넓이에 대한 공식과 원리에 대해서 공부해봤습니다. 

 

부채꼴의 둘레와 넓이를 연습할 수 있는 '모두매쓰'라는 사이트를 소개합니다. 

원하는 유형을 선택해서 맞춤 학습지를 프린트할 수 있어요. 

아래 이미지를 클릭하면 모두매쓰로 이동합니다. 

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