중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프를 보고 함수식을 구하기 연습문제 프린트 학습지

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이차함수의 그래프를 보면 함수식을 알 수도 있는데요, 특히 꼭짓점이 어디에 있고, x,y절편이 무엇인지를 알면 함수식을 구하는데 유리하답니다.

아래 문제를 하나 보도록 할게요.

꼭짓점의 좌표가 $(p,q)$인 경우 다음과 같이 이차함수식을 세울 수 있어요.

$$y=a(x-p)^2+q$$

이때, 꼭짓점의 좌표를 알면 $a$라는 미지수를 구하기만 하면 함수식을 모두 구할 수 있어요. 위 문제에서는 꼭짓점의 좌표가 $(-2,-1)$이므로

$$y=a(x+2)^2-1$$

이고, y절편이 $3$이므로 $x=0, y=3$을 대입하면

$$3=a(0+2)^2-1$$

$$3=4a-1$$

$$4=4a$$

$$a=1$$

이렇게 하여 이차함수식을 다음과 같이 완성할 수 있어요.

$$y=(x+2)^2-1$$

문제에서는 $y=ax^2+bx+c$꼴로 변형하여 $a+b+c$의 값을 구해야하므로 식을 전개해야합니다.

$$y=(x+2)^2-1=x^2+4x+3$$

따라서 $a=1, b=4, c=3$이고 $a+b+c=7$입니다.

이차함수의 그래프를 해석하여 식으로 완성시키는 문제는 굉장히 다양하게 응용이 되고 있어요. 다음 문제도 풀어보도록 하겠습니다.

이번에는 이차함수의 꼭짓점을 알 수 없지만, $x$절편에 대한 정보를 알 수 있는 그래프예요. 일반적으로 $x$절편의 값이 p, q인 경우 다음과 같이 이차함수식을 세울 수 있어요.

$$y=a(x-p)(x-q)$$

위 문제에서는 $x$절편이 $-4, 1$이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$$y=a(x+4)(x-1)$$

여기에서 미지수 $a$는 그래프의 모양에 대한 정보를 담고 있지만 아직까지는 정확한 값을 모르는 상태예요. 그래프에서 또 다른 정보를 찾아서 식에 적용해야해요. 문제에서는 삼각형의 넓이가 $10cm^2$라고 하므로 점H의 $y$좌표가 $4$라는 것을 알 수 있어요. 즉 $(0,4)$를 이차함수의 그래프가 지나고 있어요. 값을 대입하면 성립하므로

$x=0, y=4$를 대입하면,

$$4=a(0+4)(0-1)=-4a$$

$$a=-1$$

따라서 이차함수식은 다음과 같이 완성할 수 있어요.

$$y=-(x+4)(x-1)$$

이제 식을 전개하면

$$y=-(x+4)(x-1)=-x^2-3x+4$$

따라서 $a=-1, b=-3, c=4$이므로 정답은 0입니다.

이차함수의 그래프를 보고 이차함수식을 구하는 두 가지 유형에 대해서 공부했어요.

꼭짓점을 기준으로 식을 세우는 것과, x절편의 값을 기준으로 식을 세우는 두 가지가 대표적이랍니다.

다음은 이차함수의 문제를 무제한으로 생성하여 프린트할 수 있는 '모두매쓰'라는 사이트 링크입니다.

다양한 형태의 그래프를 보면서 함수식을 찾는 연습을 하면 많은 도움이 되실거에요.