중등 1학년 수학 > 일차방정식 > ax=b 의 방정식의 해를 구하기 연습문제 프린트 학습지

중등 1학년 수학 > 일차방정식 > ax=b 의 방정식의 해를 구하기 연습문제 프린트 학습지

일차방정식을 처음 공부할 때, $ax=b$라는 등식을 $a$의 값과 $b$의 값에 따라 분류하는 개념을 공부할 필요가 있어요. 왜냐하면 이 식을 공부하는 것만으로도 '방정식'뿐만 아니라 '항등식'을 공부할 수 있고 더 나아가 불능(해가 없음)까지 다루기 때문에 그야말로 종합선물세트같은 식이기 때문입니다.

$ax=b$으로 나올 수 있는 경우의 수(3가지)

1. $a=0, b=0$인 경우

$a=0, b=0$이면 $0\cdot{x}=0$인데요, $x$에 어떠한 값을 대입해도 무조건 성립해요. 이런 경우 수학에서는 부정(不定-해가 너무 많아 해를 딱 정할 수 없음)이라고 불러요. 이게 바로 그 유명한 항상 등식이 성립하는 항등식이랍니다.

2. $a=0, b≠0$인 경우

$a=0, b≠0$이면 $0\cdot{x}=b(b≠0)$인데요, 만약 $b=3$이라고 가정해보면, $0\cdot{x}=3$이라는 등식이 되며, $x$에 어떠한 수를 넣더라도 등식이 성립할 수가 없어요. 이런 경우 수학에서는 불능(不能-애초에 해를 찾는 것이 불가능함)이라고 부릅니다. 간단히 'x에 대한 방정식의 해가 없음'이라고 풀어서 말하기도 합니다.

3. $a≠0$인 경우

$a≠0$이면 양변을 $a$로 나눌 수 있어요. ($a=0$이었던 경우는 0으로 나눌 수 없기 때문에 식의 구조 자체로 해를 이야기할 수 밖에 없어요) 그럼 $a$로 양변을 나누면 어떻게 될까요?

$ax=b$

$x=\dfrac{b}{a}$

이 경우 $x=\dfrac{b}{a}$라는 1개의 해를 가집니다.

정리하면, $ax=b$의 식은 $a$와 $b$의 조건에 따라서 3가지 경우의 수가 나오는데요, 주로 교과서에서는 $a$가 $0$이 아닌 경우를 다루고(해가 존재하는 경우) 문제 풀이를 합니다. 하지만 해가 없는 경우와 해가 무수히 많은 경우가 되는 조건까지 살펴봐야 '해'라는 것이 '성립'과 어떠한 관계가 있는지 정확히 이해할 수 있답니다.

항등식과 방정식의 차이

중학교 1학년 수학에서 일차방정식을 배우면서 동시에 '항등식'에 대해서도 배우는데요, 두 식이 얼핏보면 구분이 안갈 정도로 비슷하게 생겼기 때문에 항등식을 찾는 문제가 나와요.

$2(x+2)=2x+4$ VS $2x+4=3x-2$

둘 중 어떤 식이 '항등식'이고 어떤 식이 '방정식'일까요?

항등식은 $x$에 어떠한 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이예요.

방금 공부했던 $ax=b$와 관련이 있어요. 바로 $a=0, b=0$인 경우에 '항등식'이 됩니다. 그럼 위 두 식을 $ax=b$꼴로 만들어볼까요?

$2(x+2)=2x+4$

$2x+4=2x+4$

$2x+4-2x-4=0$

$0\cdot{x}=0$

우변의 항을 좌변으로 이항시키면 $x$의 계수가 0이고 우변도 0이 됩니다. 즉, 좌변과 우변의 식이 같으면 결국 항등식이 되는거예요.

이번에는 두번째 등식인 $2x+4=3x-2$가 항등식인지 확인하기 위해 $ax=b$꼴로 만들어볼까요?

$2x+4=3x-2$

$2x-3x=-2-4$

$-x=-2$

$x=2$

이렇게 $ax=b$꼴로 만들었는데요, $a=1, b=2$으로서 정리가 됩니다. 중요한건 $a$가 0이 아니라는거예요. 이 경우에는 해가 1개를 가집니다. 항등식이 아닌 방정식입니다.

정리하면 '좌변의 식과 우변의 식이 동일하다'라면 항등식이 되는 것으로 생각하면 됩니다. 그렇지 않으면 방정식이 됩니다.

항등식에 대한 연습문제를 하나 풀어볼까요?

보통 문제에서 $x$에 대한 항등식이라고 친절하게 말해주기도 하지만, $x$에 어떠한 값을 대입해도 성립한다고 풀어서 이야기할 때도 있어요. 아무튼 위 등식을 우선 $ax=b$꼴로 만들어볼게요.

$ax-2=2(5x+b)$

$ax-2=10x+2b$

$ax-10x=2b+2$

$(a-10)x=2b+2$

이렇게 $ax=b$꼴로 식을 정리했어요. 항등식이 되려면 $a=0, b=0$이어야 하므로 위 등식에서 $a$의 위치에 해당하는 $a-10$이 $0$이어야 하고, $2b+2$도 $0$의 값을 가져야해요.

$a-10=0$

$a=10$

$2b+2=0$

$2b=-2$

$b=-1$

따라서 $a-b=10-(-1)=11$이 됩니다.

문제를 하나 더 풀어볼게요. 이번에는 일차방정식을 찾는 문제예요.

일차방정식은 $ax=b$꼴로 나타내어지고, $a≠0$이어야해요. 위 문제의 정답은 1번과 2번이랍니다. 주의할 점은 1번에 $3x^2$와 같은 차수가 2인 항이 있으니 이차방정식이라고 생각하기 쉬운데요, 우변에도 똑같이 $3x^2$가 있기 때문에 좌변도 우변의 항을 $3x^2$로 빼면 없어질 항이랍니다. 3번 보기는 왜 일차방정식이 아닐까요? 그 이유는 식을 정리하면 $3x-4=4x-(x-2)$에서 $3x-4=3x+2$가 되고 $0\cdot{x}=6$과 같이 $x$의 계수가 $0$이 되기 때문이에요. 엄밀하게 말하면 불능(해가 없음)인 등식이 됩니다. 4번 보기는 가장 높은 차수가 2이므로 일차방정식이 아닌 이차방정식이구요, 5번 보기는 $0\cdot{x}=0$꼴인 항등식이 됩니다.

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그럼 충분히 연습하셔서 탄탄한 수학 실력을 만들기 바래요.