중등 2학년 수학 > 피타고라스의 정리 > 유클리드 증명과 원리, 연습문제 프린트 학습지

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피타고라스의 정리에 대한 증명 문제는 시험에서 매년 빠지지 않고 출제되는데요, 주로 서술형에 출제되어 많은 학생들의 점수를 크게 깎아먹는(?) 문제이기도 합니다. (서술형은 배점이 최소 10점 이상..)
그런데 왜 이렇게 증명 문제를 중요하게 다룰까요? 물론 대부분의 사람들이 수학은 논리의 학문이고, 증명을 통해 수학 개념을 깊이있게 학습할 수 있다고 하지만, 개인적으로는 증명이 우리에게 안심하고 개념을 사용해도 좋다는 확인서와 같은 역할을 하기 때문이 아닐까 생각해요. 한 번 오징어게임이라는 영화를 떠올리면 어떨까요. 영화 속의 인물들이 언제 무너질지 모르는 발판을 한 걸음 한 걸음 나아갈 때 얼마나 불안할까요? 만약 공중의 발판이 안전한지를 수학적으로 증명할 수 있다면 느낌이 완전히 다르지 않을까요. 실제로 댐을 건설하거나 바다 위에 다리를 건설하거나 등등 수학적인 계산과 엄밀한 증명을 하는데요, 그렇지 않다면 사람들은 언제 무너질지 모르는 다리를 건설하고 또 건너야 할거에요. 이처럼 수학은 만든 다리를 '건너가도 좋다'라는 안전성을 보장해주는 역할을 하고, 그 중심에는 '증명'이라는 과정이 있는게 아닐까 하는 생각입니다.

머리말이 길었는데요, 오늘은 피타고라스의 정리 증명 문제 중에서 '유클리드 증명법'으로 알려진 증명을 설명할까 합니다.

다음 그림을 한 번 보시면,

직각삼각형의 각 변에 정사각형이 3개가 배치되어 있는데요, 피타고라스의 정리에 의하면 $a^2+b^2=c^2$이므로 결국 작은 사각형의 넓이의 합이 큰 사각형의 넓이와 같다는 것을 뜻합니다.
피타고라스의 정리가 증명되기 전이라면 위 그림을 통해 $a^2+b^2=c^2$이라는 사실을 어떻게 도출할 수 있었을까요?
우선 그림에 아래와 같은 보조선을 그어보도록 하겠습니다.

빨간색의 보조선이 가장 큰 사각형을 두 부분으로 나누는 것이 굉장히 의미가 있어요.
한마디로 유클리드 증명법은 아래 그림을 증명하는거와 같습니다.

왼쪽의 노란색 사각형끼리는 같은 넓이이고, 오른쪽의 빨간색 사각형끼리 같은 넓이라는 것을 증명하면 결국 피타고라스의 정리가 증명이 되는 것이죠. 그럼 왜 위 그림처럼 넓이가 같을까요? 이게 증명의 핵심입니다.

보조선을 2개 더 그으면 삼각형DBC와 삼각형ABH가 특별한 관계를 가지고 있음을 밝혀야하는데요,
결론적으로 두 삼각형은 '합동'입니다. 왜 합동인지 합동조건을 보면,

선분DB와 선분AB의 길이가 같다 -> S
선분BC와 선분BH의 길이가 같다 -> S
끼인각 DBC와 끼인각 ABH의 크기가 같다 -> A

따라서 SAS 합동입니다. 근데 이걸 왜 증명해야할까요? 왜냐하면 합동이라함은 넓이가 같다는 것을 뜻하기 때문입니다.
넓이의 변천 과정을 그림으로 살펴보도록 하겠습니다.
아래의 그림에서 넓이가 같은 도형의 색이 어떻게 이동하는지 살펴보시면 됩니다.

일단 왼쪽 위에 놓여진 정사각형 ABDE의 절반의 넓이인 삼각형 ABD가 있다고 합시다. 이 삼각형의 넓이와 동일한 삼각형을 계속해서 찾아다니는 과정입니다.

위 그림을 보시면, 두 노랜색 삼각형의 넓이가 같습니다. 왜냐하면 선분DB와 선분EC는 평행하므로 밑변과 높이가 같습니다. 그리고 아까 방금 전에 합동조건을 찾으며 증명했던 두 삼각형의 넓이가 같습니다.

이렇게 하여 처음 삼각형ABD의 넓이가 삼각형BHK와 같다는 것을 증명하였습니다.

따라서 각각의 삼각형의 넓이의 2배도 같으므로 사각형ABDE의 넓이와 사각형BHJK의 넓이가 같습니다.

이런 패턴과 동일하게 증명하면 빨간색 사각형의 넓이도 같다는 것을 증명할 수 있고, 결국 두 사각형의 넓이가 큰 사각형의 넓이와 같음을 증명할 수 있게 됩니다.

이렇게 피타고라스의 증명 중 유클리드 증명법에 대하여 알아보았습니다.
피타고라스의 정리 문제를 연습하고 싶으시면, 수학 문제를 생성하는 '모두매쓰'사이트를 이용하시길 권장합니다.
그럼 오늘도 즐거운 하루 되시기 바랍니다~