중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프의 평행이동 개념, 연습문제 프린트 학습지

중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 그래프의 평행이동 개념, 연습문제 프린트 학습지

이차함수의 그래프를 잘 그리는 방법은 바로 '평행이동'의 개념을 이해하는 것과 밀접한 관계가 있어요.
사실 중학교 수학 뿐만 아니라 고등 수학의 90%의 내용은 함수이고, 함수의 그래프를 잘 그리려면 식을 잘 이해해야하는데요, 함수식은 '모양'과 '이동' 두 가지로 분류될 수 있어요. 함수의 기본적인 형태(이동을 하지 않은 상태)에서 모양을 공부하고 나면 다음으로 함수가 이동하는 식을 공부하는 거에요. 그럼 함수는 끝이랍니다.
이차함수는 $y = a x^{2}$ 라는 기본적인 형태를 가지고 있는데요, x축의 방향(좌우 방향)으로 이동해보고, y축의 방향(상하 방향)으로 이동시켜보면서 식과 그래프의 밀접한 관계를 공부하면 이차함수의 식이 아무리 복잡해도 쉽게 그리고 문제도 풀 수 있을거에요. 자, 그럼 시작해볼게요.

$x$ 축의 방향으로 평행이동

여러분, 평행이동이라는 개념을 아시나요? 평행이동이란 '모양'은 그대로이면서 좌우 혹은 상하로 위치만 이동하는 걸 말해요. 이때 좌우, 상하는 정확하게 좌우, 상하예요 모양이 휘거나 달라지면 평행이동이 아니랍니다. 아래 그림처럼요.

왼쪽은 모양이 변하지 않았기 때문에 평행이동이지만, 오른쪽은 모양이 변했기 때문에 평행이동이 아니에요.
그럼 이어서 평행이동에 대해 공부해볼게요.
문제를 풀면서 설명하면 더 이해하기 쉬울 거에요.
아래와 같이 $y = x^{2}$ 의 그래프를 $x$ 축 평행이동하는 문제가 있습니다.

일단 답을 먼저 볼게요.

이동한 그래프는 위와 같은데 왜 $y = x^{2}$ 의 함수식이 $y = (x + 3)^{2}$ 이 되었을까요? 많은 학생들이 부호가 반대여서 혼란스러울거에요. 하지만 이건 그래프의 세계에서는 당연한 거랍니다.

여러분, 함수의 그래프가 그려지는 원리를 아시나요? 함수의 그래프는 함수식을 만족하는 순서쌍(x,y) 점들의 모임이에요. 점들이 무수히 많아서 선처럼 보일 뿐이에요. 중요한 것은 '함수식을 만족시킨다'는 거에요.
위 그래프에서 꼭짓점을 잘보세요.
원래 꼭짓점은 $(0, 0)$ 인데, $(- 3, 0)$ 이 되었어요. 즉 $x = - 3$ 일 때의 함수값이 $y = 0$ 이고 식에 대입하면 성립한다는 얘기죠. 만약 부호가 똑같이 함수식에 반영된다고 가정해볼게요.

$x$ 축 방향으로 -3만큼 평행이동니까 함수식이 $y = (x - 3)^{2}$ 일까?

분명 꼭짓점이 $(- 3, 0)$ 이므로 $x = - 3, y = 0$ 을 함수식에 대입하면 성립해야해요.
$0 = (- 3 - 3)^{2} = 9 성 립 하 지 않 는 다$
성립하지 않아요. 그런데 이차함수의 함수식이 $y = (x + 3)^{2}$ 이면 성립할까요?
$0 = (- 3 + 3)^{2} 성 립 한 다$
따라서 $x$ 축의 방향으로 평행이동할 때에는 이동하는 방향과 반대부호로 식에 넣어야해요.

정리하면,

$x$ 축 방향으로 $a$ 만큼 평행이동이면 $x$ 대신 $x - a$ 를 대입한다

입니다. 그러니 $x$ 축의 방향으로 $- 3$ 만큼 평행이동하면 $y = a x^{2}$ 의 $x$ 대신 $x - 3$ 이 아닌 $x + 3$ 이 대신 들어가는거랍니다.

이제 $y$ 축의 방향으로 평행이동하는 함수식과 그래프를 공부해볼게요.

$y$ 축의 방향으로 평행이동

원리는 같아요. 방금 $x$ 축 방향으로 평행이동할 때, 이동한 값의 부호와 반대의 부호로 식에 대입했죠? $y$ 축 방향으로 평행이동할 때에도 마찬가지 원리가 적용된답니다.

어? 학교에서 배울 때에는 $y$ 축 평행이동할 때에는 부호가 그대로라고 했는데요?

그건 쉽게 문제를 풀기 위해 암기식으로 가르쳤기 때문이에요. 사실 수학에서 $x$ 와 $y$ 를 차별하지 않는답니다.
아래 문제를 같이 볼게요.

이번에는 $y = - x^{2}$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $- 4$ 만큼 평행이동 시키는 문제예요. 우선 답을 볼까요?

함수식을 보니 $+ 4$ 가 아닌 $- 4$ 로 부호가 동일하네요? 그럼 제가 잘못 알려드린걸까요?
그렇지 않아요! 위 식은 '변형된 식'이랍니다.

$y$ 축 방향으로 $a$ 만큼 평행이동이면 $y$ 대신 $y - a$ 를 대입한다

이게 원리예요. 아래 식을 보세요.
$y + 4 = - x^{2}$
$y$ 대신 $y + 4$ 와 같이 반대부호를 대입했죠? 좌변의 $+ 4$ 를 우변으로 이항시키면
$y = - x^{2} - 4$
이렇게 되는거에요. 그러니 $y$ 축의 평행이동은 언제나 '이항'이라는 과정으로 식을 정리하는 과정이 있어요. 그래서 부호가 같아보이는 것이랍니다.

이렇게 $x$ 축 평행이동과 $y$ 축 평행이동에 대해서 공부했어요. 둘다 반대부호를 $x$ 또는 $y$ 문자와 함께 대입한다는 원리는 동일하다는 것을 기억하면서 복습해보길 바래요.

함수의 그래프는 직접 그래프를 그리고, 식을 직접 구해보해보는 연습이 필수예요.
'모두매쓰'라는 사이트를 추천드려요. 위에서 보여드린 문제는 모두 모두매쓰에서 만든 문제입니다.
이미지를 클릭하면 '모두매쓰' 사이트로 이동하여 자동으로 문제가 생성됩니다.
그럼 좋은 하루되세요.