중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 기본형 $ y=ax^2 $ 의 그래프 모양 연습문제 프린트 학습지

중등 3학년 수학 > 이차함수 > 이차함수의 기본형 $ y=ax^2 $ 의 그래프 모양 연습문제 프린트 학습지

중학교 3학년이 되면 처음으로 이차함수를 배우는데요, 이차함수는 고등학교 1학년에서도 다시 교과서에서 배울만큼 중요해요. 어쩌면 고등 수학에서 함수라고 하는 단원의 가장 기초적이면서도 깊이 있는 내용은 이차함수에서 모두 다루어진다고 봐도 무방하답니다. 일차함수와 이차함수에서 깊이있는 내용을 다루게 되면 나머지 삼차함수, 사차함수를 매우 수월하게 공부할 수 있다는 점도 참고해주세요.

그럼 이차함수의 기본형에 대해서 공부해볼게요.

$$ y=ax^2 $$

우리가 어떤 함수의 종류를 처음 배울 때, 제일 중요한 것은 가장 기본적인 형태에 대해서 배우는거에요. 다른 복잡한 형태의 이차함수식 가령, $ y=ax^2+bx+c $ 와 같은 것은 단순히 $ y=ax^2 $ 와 그래프의 위치만 다를 뿐, 모양은 동일하기 때문에 평행이동에 관한 지식만 가미되면 끝이예요. 우선은 기본적인 형태, 모양에 대해서 공부하고, 왜 그러한 모양이 만들어질 수 밖에 없는지 그래프를 보면서 이해하기로 해요.

$a$가 양수인 경우와 $a$가 음수인 경우

$y=ax^2$에서 $a$가 양수인 경우와 $a$가 음수인 경우로 나누어서 살펴보겠습니다.

먼저 $a$가 양수인 경우의 예시를 알아볼게요.

만약 $a=1$이면 $y=x^2$의 함수식이 됩니다.

함수란 $x$의 값이 정해지면 $y$의 값이 하나 무조건 정해지는 관계니까, $x$에 몇 가지 값을 넣어보면서 이차함수가 어떤 모양일지 알아보기로해요.

문제를 하나 풀어보면서 설명할게요.

표를 보시면, x의 값에 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 을 대입할 때 y값을 구할 수 있어요. (x,y)를 점으로 그래프에 표시하면 아래 그림과 같아요.

이차함수의 그래프는 위에 보이는 점 뿐만 아니라 무수히 많은 x값들을 대입한 y값들을 점으로 표현할 수 있어요. 점들의 위치를 보면 대략적으로 이차함수의 그래프 모양이 아래와 같을 것임을 알 수 있어요.

이 그래프의 모양을 '아래로 볼록한 포물선'이라고 표현해요. 왜 이차함수가 포물선 모양을 가지는지 이해할 수 있어요.

그럼 위로 볼록한 포물선도 있을까요? 네, 바로 $y=ax^2$의 이차함수식에서 $a$가 음수인 경우에요.

만약 $a=-1$이라면 $y=-x^2$이고, 그래프를 그리기 위해 마찬가지로 수치를 대입한 값들을 점으로 찍어볼게요.

위 표를 완성하고, (x, y)의 점들을 표현 하면 아래와 같아요.

점들을 이어보면 위로 볼록한 포물선 모양의 그래프가 완성이 된답니다.

이차함수의 그래프가 아래로 볼록한 포물선인지 위로 볼록한 포물선인지는 $y=ax^2$의 이차함수식에서 $a$가 양수인지 음수인지만 보아도 알 수 있답니다.

거의 다 왔어요. 이제 한 가지만 더 체크하면 됩니다. 그건 바로 $a$의 절댓값의 크기가 모양을 결정한다는 핵심적인 내용입니다.

바로 위 그래프와 비교해볼게요.

$y=-x^2$와 $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ 두 식이 있다고 해볼게요. $a$의 값이 $-1$인 경우와 $-\dfrac{1}{2}$ 모두 음수이므로 위로 볼록한 포물선 모양의 그래프가 그려질텐데요 차이점이 뭘까요? 마찬가지로 몇 개의 (x, y)점을 찍어서 확인해볼게요.

점들의 연결하여 보면, 아래처럼 폭이 다소 넓은 모양이 그려진다는걸 확인할 수 있어요.

즉, $a$의 절댓값이 작을수록 포물선의 좌우폭은 넓어지고, $a$의 절댓값이 클수록 포물선의 좌우폭은 좁아져요. 그리고 절댓값이 같으면 폭이 똑같아서 겹쳐질 수 있어요. 그건 나중에 평행이동을 공부하면서 다시 설명하도록 할게요.

오늘은 이차함수의 가장 기본이 되는 $y=ax^2$의 그래프 모양에 대해서 공부했어요. $a$가 이차함수의 모양을 결정한다는 것을 꼭 기억하길 바래요.

끝으로 이차함수의 기본적인 형태를 학습할 수 있는 '모두매쓰'라는 문제 생성사이트를 소개할게요.

모두매쓰에서는 무제한으로 동일한 유형의 문제를 생성하여 프린트 할 수 있는 사이트입니다.

위에서 만든 문제들도 모두매쓰에서 만들었습니다.