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색칠한 부분의 둘레의 길이 구하기: 개념과 문제풀이

이번 글에서는 부채꼴 형태의 색칠된 부분의 둘레의 길이를 구하는 방법을 다룹니다. 부채꼴에서 호의 길이와 두 반지름의 차이를 사용하여 둘레를 계산하는 방법을 설명하고, 주어진 예시 문제를 통해 이를 이해해보겠습니다.

1. 부채꼴의 개념

부채꼴은 원의 일부를 차지하는 도형으로, 중심각과 반지름을 이용해 호의 길이와 둘레를 계산할 수 있습니다. 이번 문제에서는 두 개의 부채꼴이 주어졌으며, 이들의 둘레를 구하는 것이 목표입니다.

2. 공식 설명

부채꼴의 색칠된 부분의 둘레는 다음과 같은 공식으로 계산할 수 있습니다:

\[ \text{둘레} = (\text{큰 호의 길이} + \text{작은 호의 길이}) + 2 \times (\text{큰 부채꼴의 반지름} - \text{작은 부채꼴의 반지름}) \]

여기서:

• \(r_1\)은 작은 부채꼴의 반지름
• \(r_2\)은 큰 부채꼴의 반지름
• 호의 길이는 \(2\pi r \times \frac{\theta}{360}\)의 공식으로 계산합니다.

3. 예시 문제풀이

문제:

아래 그림과 같이, 작은 부채꼴의 반지름이 \(6 \, \text{cm}\), 큰 부채꼴의 반지름이 \(12 \, \text{cm}\), 중심각이 \(80^\circ\)인 부채꼴에서 색칠된 부분의 둘레의 길이를 구하세요.

풀이:

먼저, 호의 길이를 계산합니다:

\[ \text{큰 호의 길이} = 2\pi \times 12 \times \frac{80}{360} = 2\pi \times 12 \times \frac{2}{9} = \frac{48\pi}{9} \, \text{cm} \]

\[ \text{작은 호의 길이} = 2\pi \times 6 \times \frac{80}{360} = 2\pi \times 6 \times \frac{2}{9} = \frac{24\pi}{9} \, \text{cm} \]

이제 색칠된 부분의 둘레를 계산해보겠습니다:

\[ \text{둘레} = \left(\frac{48\pi}{9} + \frac{24\pi}{9}\right) + 2 \times (12 - 6) = \frac{72\pi}{9} + 12 = 8\pi + 12 \, \text{cm} \]

따라서, 이 색칠된 부분의 둘레의 길이는 \(8\pi + 12 \, \text{cm}\)입니다.

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