중등 1학년 수학 > 원과 부채꼴 > 색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이 구하기: 개념과 문제풀이 : 연습문제 프린트 학습지

 

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색칠한 부분의 둘레의 길이와 넓이 구하기: 개념과 문제풀이

원환형(고리 모양) 도형의 색칠된 부분의 둘레와 넓이를 구하는 문제는 기하학에서 자주 등장하는 유형 중 하나입니다. 이번 글에서는 두 개의 동심원이 주어진 상황에서, 원환형 도형의 둘레와 넓이를 구하는 방법에 대해 설명하고, 예시 문제를 통해 이를 이해해보겠습니다.

1. 원환형 도형의 개념

원환형 도형은 두 개의 동심원이 만들어내는 고리 모양의 영역입니다. 이 도형에서 중요한 값은 바깥 원의 반지름과 안쪽 원의 반지름입니다. 이 두 반지름을 사용하여 고리 모양의 넓이와 둘레를 구할 수 있습니다.

2. 공식 설명

원환형 도형의 넓이는 바깥 원의 넓이에서 안쪽 원의 넓이를 빼서 구할 수 있습니다. 또한, 둘레는 바깥 원과 안쪽 원의 둘레를 더한 값으로 계산됩니다.

넓이

넓이 공식:

\[ \text{넓이} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \]

여기서:

• \(R\)은 바깥 원의 반지름 (큰 원)
• \(r\)은 안쪽 원의 반지름 (작은 원)

둘레

둘레 공식:

\[ \text{둘레} = 2\pi R + 2\pi r = 2\pi (R + r) \]

3. 예시 문제풀이

문제:

아래 그림과 같이, 안쪽 원의 반지름이 \(5 \, \text{cm}\), 바깥 원의 반지름이 \(15 \, \text{cm}\)인 원환형 도형에서 색칠된 부분의 둘레의 길이와 넓이를 구하세요.

풀이:

둘레

먼저, 주어진 공식을 이용하여 둘레를 계산해보겠습니다. 바깥 원의 반지름 \(R = 15 \, \text{cm}\), 안쪽 원의 반지름 \(r = 5 \, \text{cm}\)입니다. 이를 공식에 대입하면:

\[ \text{둘레} = 2\pi (15 + 5) = 2\pi \times 20 = 40\pi \, \text{cm} \]

넓이

다음으로, 넓이를 계산해보겠습니다:

\[ \text{넓이} = \pi (15^2 - 5^2) = \pi (225 - 25) = 200\pi \, \text{cm}^2 \]

따라서, 이 원환형 도형의 둘레는 \(40\pi \, \text{cm}\)이고, 넓이는 \(200\pi \, \text{cm}^2\)입니다.

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