고등 수학I > 삼각함수 > 각변환공식, 일반각에 대한 삼각함수의 값의 계산 연습문제 프린트 학습지

 

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삼각비와 삼각함수는 다르다.

 

가령, 120도에 대한 사인함수의 값을 구하려면 어떻게 해야할까요? $sin120˚$의 값은 사실 삼각함수의 정의에 의해 값으로 정의된 것이고 원래 의미의 삼각비에서는 불가능한 값입니다. 

즉, 삼각비의 대상이 되는 각은 '예각'입니다. 

그런데 만약 위 도형에서 각 C의 크기가 90도이면 직각삼각형이 될까요?

각 C의 크기가 89도, 89.99도, 89.99999도와 같이 점점 90도에 가까워지다가

90도가 딱 되는 순간 이미 직각삼각형이 아니고, 삼각형조차 아니게 됩니다. 그런 도형은 이미 각이라는 개념조차 사용할 수 없는 선이 되어버리죠. 

 

그런데, 삼각비의 값 중에 $sin90˚$가 존재합니다! 어찌된 일 일까요?

원래 삼각비에서는 있을 수 없는 값입니다. 하지만 이 값을 있다라고 '정의(약속)' 한게 바로 삼각함수의 정의입니다. 

 

삼각함수의 정의는 다른 포스팅에서 자세히 다루기로 하고, 여기서는 삼각함수의 정의에 의해 일반각에 대해서도 삼각함수 값이 존재하는구나 정도로 이해하고, 삼각함수의 값을 어떻게 구하는지 알아보도록할게요. 

 

$sin120˚?$ 특수각으로 만들어서 해결!

120도는 우리가 외우고 있는 특수한 각의 삼각비(30˚, 45˚, 60˚)가 아닙니다. 하지만 이 특수각의 삼각비로 만들 수 있어요!

즉, 각변환공식이라는 건데요, 

어떤 각을 (90˚×정수 + 남은각)으로 나타낼 수 있고, 90˚의 정수배를 없애버릴 수 있다는게 핵심이에요. 

 

즉, 120˚ = 90˚ × 1 + 30˚ 로 나타낸 다음, 90˙ × 1 을 없애는 거에요. 그럼 특수각 30˚만 남으니 값을 구할 수 있는거에요. 

굉장히 혁신적이죠? 이렇게하면 우리가 알고 있는 특수각을 써서 삼각함수의 값을 쉽게 구할 수 있어요. 

총 3가지를 생각하셔야해요. 

 

첫째, 90˚에 곱하는 정수가 짝수인지 홀수인지에 따라서 sin, cos, tan를 변형시킬지 말지 결정한다.

즉, 짝수이면 sin, cos, tan는 그대로, 홀수이면 sin은 cos으로, cos은 sin으로, tan는 1/tan로 변형

 

둘째, 원래의 각이 속하는 사분면에서 처음 주어진 sin, cos, tan가 양수인지 음수인지 판단

 

셋째, 변형한 다음, 나머지 각을 붙인다.

 

이에 따라 변형한 몇가지 예시를 보겠습니다. 

 

 

 

이렇게 각변환공식에 대해서 알아았고, 사실상 위 공식만 가지고도 모든 삼각함수의 값을 구할 수 있기 때문에 다른 공식은 부수적으로 학습해보시길 추천드립니다. 

 

그럼 몇가지 연습문제를 풀어보도록 하겠습니다. 

 

각이 호도법으로 표현되어 있는데요, $90˚=\dfrac{\pi}{2}$이므로 아래와 같이 나타낼 수 있어요. 

$sin\dfrac{3}{4}\pi=sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)$

이때, $\dfrac{\pi}{2}$에 곱해진 수가 $1$로서 생략되어 있으므로 홀수입니다. 따라서 $sin$은 $cos$으로 바뀌고,

처음의 각인 $\dfrac{3}{4}\pi$는 제2사분면의 각이므로 $sin>0$이기 때문에 마지막 부호는 +예요. 

따라서 정리하면, 

$sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

입니다. 

 

하나 더 풀어보겠습니다. 

 

$tan\left(-\dfrac{13}{6}\pi\right)=tan\left(\dfrac{\pi}{2}\times{(-5)}+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{tan\dfrac{\pi}{3}}=\sqrt{3}$

 

 

 

아래는 모두매쓰에서 만든 수학 문제입니다. 

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학습에 도움이 되길 바랍니다. 

 

 

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