중등 2학년 수학 > 경우의 수 > 자격이 다른 대표 뽑는 경우의 수와 자격이 같은 대표 뽑는 경우의 수 연습문제 프린트 학습지

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여러 명의 사람 중에서 대표를 뽑는 경우의 수 문제는 가장 대표적인 유형인데요,

대표를 뽑을 때, 자격이 같은 경우와 자격이 다른 경우의 문제 유형으로 나뉘어져 있어요.

자격이 다른 경우의 문제를 먼저 풀어보도록 할게요.

자격이 다르므로 먼저 뽑는 사람을 회장, 나중에 뽑는 사람을 부회장이라고 할 수 있어요.

1. 회장을 뽑는 경우의 수

5명 중에서 회장을 뽑는 경우는 5가지입니다.

2. 부회장을 뽑는 경우의 수

남은 4명 중에서 부회장을 뽑는 경우의 수는 4가지입니다.

여기서 가장 중요한 것은 회장을 뽑는 일과 부회장을 뽑는 일을 동시에 한다는 거에요. 여기서 '동시에' 한다는 의미는 시간적으로 완벽하게 동시에가 아닌 '연속적으로 모두 처리한다'라는 의미에 가까워요.

따라서 회장 뽑는 일 → 부회장 뽑는 일 을 모두 하는 것을 말해요. 이때는 두 수를 곱해야합니다.

$5\times{4}=20$이므로 20가지 경우의 수가 있어요.

정답은 1번입니다.

이번에는 자격이 같은 대표를 뽑는 경우의 수 문제를 풀어볼게요. 자격이 다른 경우는 '회장', '부회장'처럼 명칭이 구별지어지는데 비해 자격이 같은 경우는 '대표 2명, 대표 3명'처럼 명칭이 구별되지 않는다는 점이 특징이에요.

만약 8명의 사람이 A, B, C, D, E, F, G, H이라고 이름이 있을 때, 대표 3명을 뽑는다는 것은 자격이 없는 경우의 수를 찾는 문제입니다.

재미있는 것은 자격이 없는 대표를 뽑는 경우의 수의 원리를 이해하려면 자격이 있는 대표를 뽑는 경우의 수로 잠깐 생각을 해야 한다는 거에요. 이 문제를 자격이 있는 경우로 바꿔서 생각해볼게요. 개념과 원리를 이해하기 위해서입니다.

자격을 무엇으로 할까요. 회사에서 3종류의 직급을 채용한다고 해볼까요.

'과장 1명', '대리 1명', '사원 1명' 해서 3명을 뽑는다고 가정해볼게요.

자격이 있는 경우는 순서대로 뽑아야해요.

과장을 뽑는 경우는 8가지, 대리를 뽑는 경우는 7가지, 사원을 뽑는 경우는 6가지예요.

따라서 모든 경우의 수는 $8\times{7}\times{6}=336$가지예요. 하지만 이건 답이 아니에요. 자격이 같은 대표3명을 뽑는게 문제였으니까요. 그런데 336가지 경우의 수가 답을 찾는 것과 관련이 매우 깊답니다.

336가지 경우에는 A, B, C, D, E, F, G, H 의 사람 중에 A, B, C 세 사람이 다음과 같이 뽑히는 경우가 모두 들어있어요.

A : 과장, B : 대리, C : 사원

분명히 위 경우가 336가지 경우의 수에 포함이 되어 있을거에요. 그리고 다음 경우의 수도 있을거에요.

A : 과장, B : 사원, C : 대리

A : 대리, B : 과장, C : 사원

A : 대리, B : 사원, C : 과장

A : 사원, B : 과장, C : 대리

A : 사원, B : 대리, C : 과장

336가지 중에서 뽑힌 사람을 기준으로 A, B, C를 나열하면 위와 같이 6가지 경우가 나와요. 그런데 이건 자격이 '다른' 경우인데요, 만약 자격이 '같은' 경우로 생각을 바꾸면 어떻게 될까요?

네, 모두 같은 경우로서 1가지 경우가 됩니다. 자격이 '다른'에서 자격이 '같은'으로 바뀌기만 했는데 6가지 경우의 수가 1가지 경우의 수가 되어버리죠.

만약 뽑힌 사람이 B, D, E인 경우로만 생각해보면 어떨까요? 336가지 경우의 수에 다름의 경우가 분명히 들어있을거에요.

B : 과장, D : 대리, E : 사원

B : 과장, D : 사원, E : 대리

B : 대리, D : 과장, E : 사원

B : 대리, D : 사원, E : 과장

B : 사원, D : 과장, E : 대리

B : 사원, D : 대리, E : 과장

이렇게 6가지 경우가 또 있는데요, 만약 자격이 '같은' 경우로 생각하면 위의 6가지 경우의 수는 또 1가지 경우의 수가 될거에요. 이게 핵심인데요,

336가지 경우의 수에는 이처럼 자격이 '다른' 경우의 수를 자격이 '같은' 경우의 수의 비를 생각하면 6배 차이가 난다는 사실을 알 수 있어요.

따라서 자격이 같은 경우의 수는 $336\div{6}=56$이 된답니다.

왜 6으로 나눌까요? 그 이유는 3명이기 때문이에요.

A, B, C를 일렬로 나열하는 경우의 수가 $3\times{2}\times{1}=6$이예요. 따라서 일렬로 나열하는 경우의 수를 1가지 경우로 만들기 위해 6을 나누거였어요.

만약 대표를 2명 뽑는다면 어떤 수로 나누어야할까요? 네, 2로 나누어야 합니다.

이렇게 해서 자격이 '다른' 경우와 자격이 '같은' 경우의 수를 구하는 문제를 풀이했습니다.

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그럼 오늘도 좋은 하루되세요.