중등 2학년 수학 > 도형의 닮음 > 각의 이등분선과 닮음 증명, 연습문제 프린트 학습지

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꼭지점A의 각의 이등분선이 선분BC와 만나는 점을 D라고 할 때, 

$\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD}$

를 만족합니다. 

 

공식을 이용하여 문제를 풀면 풀 때는 잘 풀리지만, 시간이 얼마가 지나고 나면 공식이 기억이 나지 않는 경우가 있어요. 그렇기 때문에 공식을 증명하는 것을 익히는 게 좋습니다. 

 

$\overline{AB}$의 위쪽 방향으로 연장선을 긋고, 점C를 지나고 $\overline{AD}$와 평행선을 그었을 때 만나는 점을 E라 하면 위와 같은 도형이 만들어지는데요, 

삼각형ABD와 삼각형BCE는 닮음 삼각형입니다.

닮음 조건 : $\overline{AD}//\overline{CE}$이므로 $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }BEC$이고 $\mathrm{\angle }BDA=\mathrm{\angle }BCE$이다. AA닮음)

이때 평행선의 선분의 길이의 비를 이용하면 

$\overline{AB}:\overline{AE}=\overline{BD}:\overline{CD}$인데요, 삼각형ACE가 이등변삼각형이므로 $\overline{AE}$ 대신 $\overline{AC}$가 들어가면, 

$\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD}$

공식이 증명됩니다. 

 

공식을 활용하여 위 문제를 풀면,

$14:18=\overline{BD}:\overline{CD}$

$7:9=\overline{BD}:\overline{CD}$

이때 선분BD와 선분CD의 길이의 합이 $16cm$이므로 비례배분으로 구하면, 

$\overline{BD}={\displaystyle \frac{7}{7+9}}\times 16=7cm$입니다. 

따라서 정답은 2번입니다. 

 

각의 이등분선의 닮음의 다른 유형을 살펴볼게요. 이번에는 삼각형의 외각의 이등분선인데요, 

위 그림에서 각A의 외각의 이등분과 선분BC의 연장선이 만나는 점을 D라고 할 때, 다음과 같은 닮음비가 성립합니다. 

 

그럼 공식을 증명하도록 해볼게요. 아래 그림과 같이 평행한 보조선을 긋고, 두 개의 닮음 삼각형을 찾아야 합니다. 

 

삼각형ABD와 삼각형CDE는 AA닮음입니다. 이때 아래와 같은 닮음비가 성립하는데요, 

$\overline{AB}:\overline{CE}=\overline{BD}:\overline{CD}$

여기에서 삼각형ACE가 이등변삼각형이라는 사실로부터 $\overline{CE}$를 $\overline{AC}$로 바꿀 수가 있어요. 

$\overline{AB}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{CD}$

이렇게 하여 공식을 증명하였습니다. 

 

위 문제를 $\overline{CD}=x$라 두고 공식에 대입하여 풀면, 

$5:4=x+3:x$

$4(x+3)=5x$

$4x+12=5x$

$x=12$

따라서 정답은 $12cm$인 1번입니다. 

 

이렇게 각의 이등분선의 닮음에 대하여 증명을 하고 문제를 풀어봤는데요,

아래에서 더 많은 문제를 직접 출력해서 풀 수 있도록 '모두매쓰' 사이트 링크를 넣었어요. 

이미지를 클릭하게 되면 '모두매쓰' 사이트로 이동해서 자동으로 문제 생성이 될거에요. 

프린트 버튼만 누르면 됩니다. (참고로 데스크탑이 아니면 프린트 버튼이 작동하지 않을 수 있어요)

 

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