중등 3학년 수학 > 제곱근과 실수 > 제곱근의 성질과 개념 연습문제 프린트 학습지

중등 3학년 수학 > 제곱근과 실수 > 제곱근의 성질과 개념 연습문제 프린트 학습지

제곱근의 성질

$a>0$일 때,

$(\sqrt{a})^2=a$, $(-\sqrt{a})^2=a$

$a$가 실수일 때,

$\sqrt{a^2}=|a|$

제곱근의 근호를 제거할 때 가장 실수를 많이 하는 부분이 '부호'인데요,

많은 학생들이 제곱을 시키면 근호가 없어진다 이렇게만 알고 있는 경우가 있어요.

그래서 아래 식을 구별하지 않고 문제를 푸는데요,

$( \sqrt{a})^2$ VS $\sqrt{a^2}$

위 두 식을 보면서 '똑같은거 아냐? 둘다 $a$로 빠져나오는거잖아.'라고 생각하는 학생이 있다면 두 식은 완전히 다른 식이라고 말하고 싶어요. 근호가 사라지는건 맞지만 $a$가 되지 않는 경우가 있어요.

두 식을 근호 밖에서 제곱하는 경우와 근호 안에서 제곱하는 경우로 나누어 설명하도록 하겠습니다.

1. 근호 밖에서 제곱하는 경우

$$(\sqrt{a})^2=a$$

이렇게 근호 밖에서 제곱을 하게 되면 근호가 사라지고, 근호 안에 있는 수가 그대로 빠져나온다로 기억하시면 돼요.

예를 들면 다음과 같아요.

$(\sqrt{5})^2=5$

$(\sqrt{-3})^2=-3$ (근호 안의 수가 음수인 경우. 고등 수학에서 다룸)

2. 근호 안에서 제곱하는 경우

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

$a$가 아닌 절댓값 $a$가 됩니다. 예를 들면,

$\sqrt{3^2}=|3|=3$

$\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$

이렇게 계산이 된다는 거에요. '뭐가 다른거죠?'라고 묻는다면, $a$와 $|a|$는 다르죠.

$\sqrt{3^2}$의 경우에는 $a=3$으로 양수인데요, $3$이 되었으니 $a$가 나온거와 같아요.

그런데 $\sqrt{(-4)^2}$의 경우에는 $a=-4$인데, 결과값은 $4$이므로 $-a$가 나온거와 같아요.

즉, $\sqrt{a^2}$의 값이 $a$, $-a$ 둘다 나올 수 있다는 거에요. 그리고 그 기준이 $a$가 음수인지 아닌지로 판단하는 절댓값과 동일합니다.

숫자가 들어간 문제는 간단히 해결할 수 있지만, 문자가 포함된 문제는 절댓값 개념을 알고 있어야 한답니다.

다음 연습문제를 함께 풀어보도록 하겠습니다.

위 문제를 잘 보시면 근호 안에서 제곱이 일어나고 있어요.

$\sqrt{(x+2)^2}=|x+2|$이고, $\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|$와 같으므로

$\sqrt{(x+2)^2}-\sqrt{(x-5)^2}=|x+2|-|x-5|$와 완벽하게 같은 식이라고 볼 수 있어요.

따라서 $x-5$가 양수인지 음수인지, $x+2$가 양수인지 음수인지가 절댓값 기호를 없앨 때, 부호가 어떻게 되는지를 결정해요.

수직선을 하나 그려서 생각해보면,

$x$값의 범위가 $-2$와 $5$사이이므로 $x+2$에서 $x$가 아무리 작아도 $-2$보다는 크고 거기서 항상 $2$를 더한 수이므로 양수임을 알 수 있어요. 또한 $x-5$는 $x$가 아무리 커도 $5$보다는 작은데, 항상 $5$를 뺀 수이므로 음수가 나온다는 것도 알 수 있습니다.

따라서 아래와 같이 절댓값 기호를 계산할 수 있어요.

$|x+2|=(x+2)$, $|x-5|=-(x-5)$이므로

$|x+2|-|x-5|=(x+2)+(x-5)=2x-3$

$\style{visibility:hidden}{|x+2|-|x-5|}=2x-3$

따라서 정답은 1번입니다.

문제를 하나 더 풀어보도록 하겠습니다.

이 문제도 마찬가지로 '근호 안에서 제곱'하는 수예요. 그럼 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

$\sqrt{25a^2}+\sqrt{(-3a)^2}-\sqrt{(4a)^2}$

$=\sqrt{(5a)^2}+\sqrt{(-3a)^2}-\sqrt{(4a)^2}$

$=|5a|+|-3a|-|4a|$

그럼 각각의 절댓값 안의 수가 음수인지 음수가 아닌지를 판별해야해요. 이때 $a>0$이므로 다음과 같이 판별할 수 있어요.

$a>0$일 때

$|5a|+|-3a|-|4a|$

$=(5a)-(-3a)-(4a)$

$=5a+3a-4a$

$=4a$

따라서 정답은 4번입니다.

이렇게 제곱근의 성질에서 가장 실수를 많이 하는 부분에 대해 공부하고 문제를 풀어봤는데요,

아래에서 더 많은 문제를 직접 출력해서 풀 수 있도록 '모두매쓰' 사이트 링크를 넣었어요.

이미지를 클릭하게 되면 '모두매쓰' 사이트로 이동해서 자동으로 문제 생성이 될거에요.

프린트 버튼만 누르면 됩니다. (참고로 데스크탑이 아니면 프린트 버튼이 작동하지 않을 수 있어요)