중등 3학년 수학 > 제곱근과 실수 > 제곱근의 성질과 개념 연습문제 프린트 학습지

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제곱근의 성질

$a > 0$ 일 때,

$(\sqrt{a})^{2} = a$ , $(- \sqrt{a})^{2} = a$

$a$ 가 실수일 때,

$\sqrt{a^{2}} = | a |$

제곱근의 근호를 제거할 때 가장 실수를 많이 하는 부분이 '부호'인데요,

많은 학생들이 제곱을 시키면 근호가 없어진다 이렇게만 알고 있는 경우가 있어요.

그래서 아래 식을 구별하지 않고 문제를 푸는데요,

$(\sqrt{a})^{2}$ VS $\sqrt{a^{2}}$

위 두 식을 보면서 '똑같은거 아냐? 둘다 $a$ 로 빠져나오는거잖아.'라고 생각하는 학생이 있다면 두 식은 완전히 다른 식이라고 말하고 싶어요. 근호가 사라지는건 맞지만 $a$ 가 되지 않는 경우가 있어요.

두 식을 근호 밖에서 제곱하는 경우와 근호 안에서 제곱하는 경우로 나누어 설명하도록 하겠습니다.

1. 근호 밖에서 제곱하는 경우

$(\sqrt{a})^{2} = a$

이렇게 근호 밖에서 제곱을 하게 되면 근호가 사라지고, 근호 안에 있는 수가 그대로 빠져나온다로 기억하시면 돼요.

예를 들면 다음과 같아요.

$(\sqrt{5})^{2} = 5$

$(\sqrt{- 3})^{2} = - 3$ (근호 안의 수가 음수인 경우. 고등 수학에서 다룸)

2. 근호 안에서 제곱하는 경우

$\sqrt{a^{2}} = | a |$

$a$ 가 아닌 절댓값 $a$ 가 됩니다. 예를 들면,

$\sqrt{3^{2}} = | 3 | = 3$

$\sqrt{(- 4)^{2}} = | - 4 | = 4$

이렇게 계산이 된다는 거에요. '뭐가 다른거죠?'라고 묻는다면, $a$ 와 $| a |$ 는 다르죠.

$\sqrt{3^{2}}$ 의 경우에는 $a = 3$ 으로 양수인데요, $3$ 이 되었으니 $a$ 가 나온거와 같아요.

그런데 $\sqrt{(- 4)^{2}}$ 의 경우에는 $a = - 4$ 인데, 결과값은 $4$ 이므로 $- a$ 가 나온거와 같아요.

즉, $\sqrt{a^{2}}$ 의 값이 $a$ , $- a$ 둘다 나올 수 있다는 거에요. 그리고 그 기준이 $a$ 가 음수인지 아닌지로 판단하는 절댓값과 동일합니다.

숫자가 들어간 문제는 간단히 해결할 수 있지만, 문자가 포함된 문제는 절댓값 개념을 알고 있어야 한답니다.

다음 연습문제를 함께 풀어보도록 하겠습니다.

위 문제를 잘 보시면 근호 안에서 제곱이 일어나고 있어요.

$\sqrt{(x + 2)^{2}} = | x + 2 |$ 이고, $\sqrt{(x - 5)^{2}} = | x - 5 |$ 와 같으므로

$\sqrt{(x + 2)^{2}} - \sqrt{(x - 5)^{2}} = | x + 2 | - | x - 5 |$ 와 완벽하게 같은 식이라고 볼 수 있어요.

따라서 $x - 5$ 가 양수인지 음수인지, $x + 2$ 가 양수인지 음수인지가 절댓값 기호를 없앨 때, 부호가 어떻게 되는지를 결정해요.

수직선을 하나 그려서 생각해보면,

$x$ 값의 범위가 $- 2$ 와 $5$ 사이이므로 $x + 2$ 에서 $x$ 가 아무리 작아도 $- 2$ 보다는 크고 거기서 항상 $2$ 를 더한 수이므로 양수임을 알 수 있어요. 또한 $x - 5$ 는 $x$ 가 아무리 커도 $5$ 보다는 작은데, 항상 $5$ 를 뺀 수이므로 음수가 나온다는 것도 알 수 있습니다.

따라서 아래와 같이 절댓값 기호를 계산할 수 있어요.

$| x + 2 | = (x + 2)$ , $| x - 5 | = - (x - 5)$ 이므로

$| x + 2 | - | x - 5 | = (x + 2) + (x - 5) = 2 x - 3$

$| x + 2 | - | x - 5 | = 2 x - 3$

따라서 정답은 1번입니다.

문제를 하나 더 풀어보도록 하겠습니다.

이 문제도 마찬가지로 '근호 안에서 제곱'하는 수예요. 그럼 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

$\sqrt{25 a^{2}} + \sqrt{(- 3 a)^{2}} - \sqrt{(4 a)^{2}}$

$= \sqrt{(5 a)^{2}} + \sqrt{(- 3 a)^{2}} - \sqrt{(4 a)^{2}}$

$= | 5 a | + | - 3 a | - | 4 a |$

그럼 각각의 절댓값 안의 수가 음수인지 음수가 아닌지를 판별해야해요. 이때 $a > 0$ 이므로 다음과 같이 판별할 수 있어요.

$a > 0$ 일 때

$| 5 a | + | - 3 a | - | 4 a |$

$= (5 a) - (- 3 a) - (4 a)$

$= 5 a + 3 a - 4 a$

$= 4 a$

따라서 정답은 4번입니다.

이렇게 제곱근의 성질에서 가장 실수를 많이 하는 부분에 대해 공부하고 문제를 풀어봤는데요,

아래에서 더 많은 문제를 직접 출력해서 풀 수 있도록 '모두매쓰' 사이트 링크를 넣었어요.

이미지를 클릭하게 되면 '모두매쓰' 사이트로 이동해서 자동으로 문제 생성이 될거에요.

프린트 버튼만 누르면 됩니다. (참고로 데스크탑이 아니면 프린트 버튼이 작동하지 않을 수 있어요)