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수학(상) > 이차방정식 > 이차방정식의 두 근을 α, β라 할 때, 근과 계수와의 관계 연습문제

문제:

이차방정식 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $의 두 근을 $ \alpha, \beta $라 할 때, 다음을 구하시오.

1. $ \alpha + \beta $
2. $ \alpha \beta $
3. 근과 계수의 관계를 이용하여 $ \alpha^2 + \beta^2 $를 구하시오.

풀이:

1. $ \alpha + \beta $ 구하기

이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $에서 두 근 $ \alpha $와 $ \beta $의 합은 $ -\frac{b}{a} $입니다.

여기서 $ a = 1 $, $ b = -5 $이므로:

$$ \alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5 $$

2. $ \alpha \beta $ 구하기

이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $에서 두 근 $ \alpha $와 $ \beta $의 곱은 $ \frac{c}{a} $입니다.

여기서 $ a = 1 $, $ c = 6 $이므로:

$$ \alpha \beta = \frac{6}{1} = 6 $$

3. $ \alpha^2 + \beta^2 $ 구하기

근과 계수의 관계를 이용하여 $ \alpha^2 + \beta^2 $를 구합니다.

$$ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta $$

위에서 구한 값을 대입하면:

$$ \alpha^2 + \beta^2 = 5^2 - 2 \cdot 6 $$

$$ \alpha^2 + \beta^2 = 25 - 12 = 13 $$

정답:

1. $ \alpha + \beta = 5 $
2. $ \alpha \beta = 6 $
3. $ \alpha^2 + \beta^2 = 13 $

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