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수학(상) > 이차방정식 > 이차방정식의 두 근을 α, β라 할 때, 근과 계수와의 관계 연습문제

문제:

이차방정식 $x^2-5x+6=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, 다음을 구하시오.

1. $\alpha +\beta$
2. $\alpha \beta$
3. 근과 계수의 관계를 이용하여 ${\alpha }^2+{\beta }^2$를 구하시오.

풀이:

1. $\alpha +\beta$ 구하기

이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 두 근 $\alpha$와 $\beta$의 합은 $-\frac{b}{a}$입니다.

여기서 $a=1$, $b=-5$이므로:

$$\alpha +\beta =-\frac{-5}{1}=5$$

2. $\alpha \beta$ 구하기

이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 두 근 $\alpha$와 $\beta$의 곱은 $\frac{c}{a}$입니다.

여기서 $a=1$, $c=6$이므로:

$$\alpha \beta =\frac{6}{1}=6$$

3. ${\alpha }^2+{\beta }^2$ 구하기

근과 계수의 관계를 이용하여 ${\alpha }^2+{\beta }^2$를 구합니다.

$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$$

위에서 구한 값을 대입하면:

$${\alpha }^2+{\beta }^2=5^2-2\cdot 6$$

$${\alpha }^2+{\beta }^2=25-12=13$$

정답:

1. $\alpha +\beta =5$
2. $\alpha \beta =6$
3. ${\alpha }^2+{\beta }^2=13$

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