중등 1학년 수학 > 도형의 성질 > 다각형의 대각선의 개수 구하는 원리, 연습문제 프린트 학습지

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대각선

 

대각선이란 한 꼭짓점에서 이웃하지 않은 꼭짓점에 이은 선분을 말해요. 

이렇게 대각선에 대해서 뜻을 알아봤습니다. 대각선의 개수는 다각형의 꼭짓점의 개수와 관련이 있어요. 

대각선의 개수를 구하기 위해서는 가장 먼저 '한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수'를 알아야해요. 왜냐하면 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수를 구한 다음, 각각의 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수가 동일한 규칙을 이용할 수 있기 때문이랍니다. 

 

우선 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수를 사각형, 오각형, 육각형 등등 그림에서 살펴보기로해요. 

사각형은 1개, 오각형은 2개, 육각형은 3개... 이처럼 다각형의 꼭짓점의 개수가 1개씩 늘어날 때마다, 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수도 1개씩 늘어나는 규칙이 있어요. 

 

그렇다면 n개의 꼭짓점을 가진 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수는 몇 개일까요?

 

위 그림을 보면

사각형의 꼭짓점은 4개이므로 한 대각선에서 그을 수 있는 대각선은 1개

오각형의 꼭짓점은 5개이므로 한 대각선에서 그을 수 있는 대각선은 2개

육각형의 꼭짓점은 6개이므로 한 대각선에서 그을 수 있는 대각선은 3개

이렇듯 규칙을 보면 꼭짓점의 수에서 3을 빼면 된다는 걸 일반화할 수 있어요. 

 

n각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수

n - 3

이제 다각형에서 그을 수 있는 모든 대각선의 수를 구하는 첫 단추를 찾았어요. 

다각형의 꼭짓점마다 위와 같이 대각선을 그을 수 있게 되니까 꼭짓점의 수를 곱해주면 어떨까요?

오각형의 경우 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 수는 5-3 = 2(개)이고, 꼭짓점의 수는 5개이므로

 

2 × 5 = 10(개)

 

로 계산할 수 있겠어요. 하지만 이건 답이 아니예요. 왜 그럴까요?

 

그건 바로 중복되는 대각선은 빼주어야 하기 때문이예요. 아래 그림을 보면 각각의 꼭짓점마다 2개씩 중복이 만들어진다는 것을 알 수 있어요.

따라서 마지막에 2를 꼭 나누어주어야 한다는 사실!

 

2 × 5 ÷ 2 = 5(개)

 

오각형은 총 5개의 대각선을 그을 수 있다는 알게 되었어요. 

그런데 만약 팔각형, 십오각형, 이십각형과 같이 꼭짓점의 수가 커지면 공식이 필요할 수 있어요. 

몇 각형의 몇을 n으로 두면 n각형의 대각선의 총 개수를 구하는 공식을 살펴보면 다음과 같아요. 

n각형의 대각선의 수

 

위 공식을 다시 분석해보면

주의할 점은 n-3을 n-2로 헷갈리는 경우가 많다는 건데요,

n-2 는 n각형으로 만들 수 있는 삼각형의 수예요. 그래서 가끔 n-3인지 n-2인지 혼동이 생길 수 있어요. 

그럴때마다 사각형이든 오각형을 하나 그리고 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수를 떠올리면 좋습니다. 

 

문제를 하나 풀어보도록 할게요. 

(1) n=7이므로 

7 × (7-3) / 2 = 14(개)

(2) n=9이므로

9 × (9-3) / 2 = 27(개)

 

공식은 참 대단한 것 같아요. 공식이 없었다면 도형을 그리고 대각선을 27개를 그으며 하나씩 세어야 했을텐데 이렇게 간단하게 답이 나올 수 있으니까요. 문제는 공식이 아니라 공식이 어떻게 만들어졌는지에 대한 과정과 함께 공부하는 거겠죠.

 

지금까지 다각형의 대각선의 개수를 구하는 공식과 원리에 대해서 알아봤습니다. 

아래는 다각형의 대각선의 수를 계산하는 문제를 만들어주는 '모두매쓰' 사이트에서 만든 문제예요. 

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