중등 2학년 수학 > 경우의 수 > 일렬로 나열하는 경우의 수에 대한 규칙성과 원리 연습문제 프린트 학습지

중등 2학년 수학 > 경우의 수 > 일렬로 나열하는 경우의 수에 대한 규칙성과 원리 연습문제 프린트 학습지

 

경우의 수 문제를 풀 때 자주 나오는 말이 '일렬로 줄을 세울 때' 또는 '일렬로 나열할 때' 라는 말인데요, 

일렬로 세우는 경우의 수에 대해서 공부해보기로 해요. 

2명, 3명, 4명을 일렬로 세우는 경우를 살펴보고 그 규칙성에 대해서 알아본다음, 원리를 설명하도록 하겠습니다. 

 

$\cdot$ 두 사람 A, B가 일렬로 줄을 세우는 경우

A B

B A

총 2가지 경우의 수가 있습니다. 

 

$\cdot$ 세 사람 A, B, C가 일렬로 줄을 세우는 경우

(A가 맨 앞에 오는 경우의 수 2가지)

A B C

A C B

(A가 맨 앞에 오는 경우의 수  2가지 )

B A C

B C A

(A가 맨 앞에 오는 경우의 수  2가지 )

C A B

C B A

총 6가지 경우의 수 가 있습니다. 

 

$\cdot$ 네 사람 A, B, C, D가 일렬로 줄을 세우는 경우

(A가 맨 앞에 오는 경우의 수 6가지)

A B C D

A B D C

A C B D

A C D B

A D B C

A D C B

(B가 맨 앞에 오는 경우의 수  6가지 )

B A C D

B A D C

B C A D

B C D A

B D A C

B D C A

(C가 맨 앞에 오는 경우의 수  6가지 )

C A B D

C A D B

C B A D

C B D A

C D A B

C D B A

(D가 맨 앞에 오는 경우의 수  6가지 )

D A B C

D A C B

D B A C

D B C A

D C A B

D C B A

총 24가지 경우의 수 가 있습니다.

 

2명, 3명, 4명 일 때 각각 2가지, 6가지, 24가지 경우의 수가 있는데요, 

사람이 1명 늘어날 때마다 어떤 규칙으로 경우의 수가 늘어날까요?

 

$2$명  → $2\times{1}=2$

$3$명  → $3\times{2}\times{1}=6$

$4$명  → $4\times{3}\times{2}\times{1}=24$

이렇게 n명의 사람이 일렬로 줄을 서게 되면 n × (n-1) × (n-2) × (n-3) × ... × 2 × 1 과 같이 1이 나올 때까지 1씩 작아지면서 곱하는 규칙이 있습니다. 

그럼 다섯 명 A, B, C, D, E를 일렬로 나열하는 경우의 수는 어떨까요?

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120(가지)

마찬가지로 5부터 1씩 작아지면서 1이 나올 때까지 수를 연속적으로 곱하게 되면 다섯 명을 일렬로 나열하는 방법의 수가 됩니다.

 

그럼 왜 이런 규칙성을 가지게 되었는지 원리를 알아보겠습니다. 

가령, 자연수 $1,\ \ 2,\ \ 3,$로 세 자리 자연수를 만든다고 하면, 

 

백의 자리에 들어갈 수 있는 숫자는 몇 가지 종류가 될까요? 네, 3가지 경우의 수가 있어요. 

다음으로 십의 자리에 들어갈 수 있는 숫자는 몇 가지 종류가 될까요? 백의 자리에 들어간 수를 제외한 2가지 경우의 수가 있습니다. 

마지막으로 일의 자리에 들어갈 수 있는 숫자는 백의 자리와 십의 자리에 들어갈 수를 제외한 1가지 경우가 있습니다. 

정리하면, 

 

백의 자리에 들어가는 숫자의 경우의 수 → 3가지

십의 자리에 들어가는 숫자의 경우의 수 → 2가지

일의 자리에 들어가는 숫자의 경우의 수 → 1가지

 

각각의 경우의 수를 더해야할까요 아니면 곱해야할까요? 

그 기준이 되는 것은 '동시에' 가능한지입니다. 백의 자리를 숫자를 고르면 십의 자리 숫자를 못고르지 않죠? 나머지 숫자중에 고를 수 있어요. 또 마찬가지로 일의 자리 숫자를 고르는 것이 불가능하지 않아요. 이렇게 각 자리의 숫자를 고르는 것이 불가능하지 않고 가능한 경우, 동시에 가능하다고 말할 수 있고, 이때 각각의 경우의 수를 곱해야합니다. 

 

$3\times{2}\times{1}=6$

 

이와 같은 규칙성이 1, 2, 3, 4 로 네 자리의 수를 만들 때나 1, 2, 3, 4, 5 로 다섯 자리의 수를 만들 때도 마찬가지로 적용되기 때문에 일렬로 줄을 세우는 경우의 수의 규칙성이 1씩 작아지면서 연속적으로 곱해지는 경우의 수가 된 것입니다. 

 

자 이렇게 일렬로 줄을 세우는 방법의 수의 규칙성과 원리에 대해서 알아보았는데요, 

실제 문제를 풀어보면서 마무리 하도록 하겠습니다. 

일렬로 세우는 규칙성에 따라서 

$5\times{4}\times{3}\times{2}\times{1}=120$(가지)

가 정답이므로 3번이 되겠습니다. 

 

$6\times{5}\times{4}\times{3}\times{2}\times{1}=720$(가지)

 

정답은 2번입니다. 

 

<모두매쓰에서 생성한 연습문제 링크>

 

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