고등수학

수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

수학의 시작 2024. 6. 21. 11:40

수학 II > 도함수의 활용 > 곡선 밖의 한 점이 주어질 때 접선의 방정식 구하는 연습문제

문제 1:

함수 f(x)=x2−4x+4의 곡선과 점 (3,−2)를 지나는 접선의 방정식을 구하시오.

풀이:

우선 함수 f(x)=x2−4x+4의 도함수 f′(x)를 구합니다.

f′(x)=ddx(x2−4x+4)

각 항을 미분하여 계산하면:

f′(x)=2x−4

접선의 기울기는 f′(x)와 같으므로, 접선의 방정식은 기울기 m=2x−4를 가지는 직선입니다.

점 (3,−2)을 지나는 접선의 방정식을 구하기 위해 (x1,y1)가 접점이라 하면, 접선의 방정식은 다음과 같습니다:

y−y1=m(x−x1)

여기서 y1=f(x1)=x12−4x1+4이고, m=2x1−4입니다.

따라서, 접선의 방정식은:

y−(x12−4x1+4)=(2x1−4)(x−x1)

이 접선이 점 (3,−2)을 지나야 하므로, x=3일 때 y=−2를 대입합니다:

−2−(x12−4x1+4)=(2x1−4)(3−x1)

이를 정리하면:

−2−x12+4x1−4=6x1−2x12−12

−x12+4x1−6=6x1−2x12−12

x12−2x1−6=0

이 이차방정식을 풀면:

x1=2±4+242=2±282=1±7

두 접점 x1=1+7와 x1=1−7에서의 접선의 방정식을 구합니다.

1. x1=1+7일 때:

y1=(1+7)2−4(1+7)+4

y1=1+27+7−4−47+4

y1=12−27

접선의 기울기 m=2(1+7)−4=27−2

접선의 방정식은:

y−(12−27)=(27−2)(x−(1+7))

이를 정리하면:

y=(27−2)x+14−47

2. x1=1−7일 때:

y1=(1−7)2−4(1−7)+4

y1=1−27+7−4+47+4

y1=12+27

접선의 기울기 m=2(1−7)−4=−27−2

접선의 방정식은:

y−(12+27)=(−27−2)(x−(1−7))

이를 정리하면:

y=(−27−2)x+14+47

정답:

점 (3,−2)를 지나는 접선의 방정식은 y=(27−2)x+14−47 또는 y=(−27−2)x+14+47입니다.

 

 

 

 

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